打印最短公共超序列

在计算机科学中，最短公共超序列（Shortest Common Supersequence，SCS）是指在两个或多个字符串的前提下，找到一个最短的字符串，该字符串包含所有输入字符串的子序列。

在某些情况下，最短公共超序列具有重要的数学应用，例如在计算DNA分子中的分子相似性时。 在这篇文章中，我们将讨论如何计算两个字符串的最短公共超序列。

动态规划解法

动态规划是计算最短公共超序列的一种常见技术。下面是解决该问题的一般步骤：

1. 定义子问题： 我们将S1和S2的最短公共超序列表示为SCS(S1, S2)。 我们还将S1和S2的长度分别为m和n。 我们将包含S1的前i个字符和S2的前j个字符的最短公共超序列表示为SCS(i, j)。 例如：SCS(m, n)是我们所需的最短公共超序列。

2. 定义状态： 使用DP数组dp[i][j]表示SCS(i, j)的长度。

3. 定义状态转移方程： 有两种情况：

   • 当S1[i-1] == S2[j-1]时，说明当前字符相等，并且在SCS(i-1, j-1)的基础上可以直接添加一个字符。 因此，此时dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。

   • 当S1[i-1] != S2[j-1]时，需要将S1[i-1]和S2[j-1]中的一个添加到SCS(i-1, j)或SCS(i, j-1)中。因此，此时dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1。

4. 边界条件： 初始化dp[0][j] 和 dp[i][0]为0，表示一个空字符串的SCS的长度为0。

5. 最终结果： 返回 dp[m][n]。

下面是使用Python实现上述算法的代码片段：

def print_scs(s1, s2):
    m, n = len(s1), len(s2)
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]
    
    for i in range(m+1):
        for j in range(n+1):
            if i == 0 or j == 0:
                dp[i][j] = i + j
            elif s1[i-1] == s2[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1
    
    # 构建最短公共超序列
    scs = ""
    while m > 0 and n > 0:
        if s1[m-1] == s2[n-1]:
            scs = s1[m-1] + scs
            m -= 1
            n -= 1
        elif dp[m-1][n] < dp[m][n-1]:
            scs = s1[m-1] + scs
            m -= 1
        else:
            scs = s2[n-1] + scs
            n -= 1
    
    while m > 0:
        scs = s1[m-1] + scs
        m -= 1
    
    while n > 0:
        scs = s2[n-1] + scs
        n -= 1
    
    return scs

示例

假设有两个字符串s1 = "ABCD"和s2 = "ACDF"，我们可以调用上述算法来计算它们的最短公共超序列，如下所示：

>>> print_scs("ABCD", "ACDF")
'ABCDF'

因此， "ABCDF"是s1和s2的最短公共超序列。

结论

在本文中，我们介绍了最短公共超序列问题，并提供了一种动态规划算法来解决它。通过调用print_scs方法，我们可以计算任意两个字符串的最短公共超序列。