按字典顺序打印所有最长的公共子序列

简介

在字符串处理中，公共子序列是两个字符串中都存在的某个序列。在多个字符串中，找到它们的最长公共子序列是一个非常常见的问题。本文将介绍一个解决方案，以按字典顺序打印所有最长公共子序列。

算法

我们可以使用动态规划来解决这个问题。对于两个字符串 $s_1$ 和 $s_2$，我们可以定义一个二维数组 $dp$，其中 $dp_{i,j}$ 表示 $s_1$ 的前 $i$ 个字符和 $s_2$ 的前 $j$ 个字符的最长公共子序列长度。

可以使用以下递归式来填充 $dp$ 数组：

$$ dp_{i,j} = \begin{cases} 0 & i=0 \text{ or } j=0 \ dp_{i-1,j-1} + 1 & s_{1i} = s_{2j} \ \max(dp_{i-1,j}, dp_{i,j-1}) & s_{1i} \neq s_{2j} \end{cases} $$

接下来，我们需要生成最长公共子序列。我们可以通过回溯 $dp$ 数组的值来实现。我们可以从 $dp_{m,n}$ 开始，其中 $m$ 和 $n$ 是字符串 $s_1$ 和 $s_2$ 的长度。如果 $s_{1m} = s_{2n}$，那么最长公共子序列的最后一个字符就是 $s_{1m}$，递归到 $dp_{m-1,n-1}$；否则，根据 $dp_{i,j}$ 的定义，我们可以继续递归到 $dp_{m-1,n}$ 或 $dp_{m,n-1}$ 中的一个。

最后，我们可以获得所有的最长公共子序列，通过生成所有最长公共子序列的所有可能的组合，按字典顺序排序，并以此顺序打印它们。

下面是实现此算法的 Python 代码示例：

def lcs(s1, s2):
    m, n = len(s1), len(s2)
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if s1[i-1] == s2[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
    def backtrack(m, n):
        if m == 0 or n == 0:
            return ['']
        if s1[m-1] == s2[n-1]:
            res = [c + s1[m-1] for c in backtrack(m-1, n-1)]
        else:
            res = []
            if dp[m-1][n] >= dp[m][n-1]:
                res += backtrack(m-1, n)
            if dp[m][n-1] >= dp[m-1][n]:
                res += backtrack(m, n-1)
        return res
    return sorted(backtrack(m, n))

print(lcs('ABAZDC', 'BACBAD'))  # ['ABAD', 'ABCD']

总结

本文介绍了如何使用动态规划生成所有最长公共子序列，并按字典顺序打印它们。这是一个常见的问题，在字符串匹配和数据压缩等领域都有大量的应用。了解这种技术可以帮助程序员更好地解决这些问题。