可插入直圆柱体的最长杆

介绍

给定一个圆柱体，以及一个直杆，求出这个直杆能够插入圆柱体的最大长度。

为了方便计算，我们假设圆柱体的底面半径为 $R$，高度为 $H$，直杆的半径为 $r$，长度为 $L$。

圆柱体中心与直杆所在直线的距离为 $d$，如下图所示。

算法

假设我们已经知道了直杆和圆柱体的参数，我们可以将问题转化为如下数学问题：

给定一个圆柱体，以及一个圆心距离为 $d$ 的圆，求出这个圆能够插入圆柱体的最大长度。

我们可以依次枚举插入位置，对于每个插入位置，计算插入的长度。

插入长度等于插入位置到圆周的距离 $x$，以及插入的直杆长度 $L$ 的最小值。显然，插入长度最大的位置就是我们所求的答案。

计算插入长度的方法如下：

首先，我们可以通过勾股定理计算出直线上距离圆心 $d$ 的点到圆周的距离 $x$，如下图所示。

$$x = \sqrt{r^2 - d^2}$$

如果 $x \geq R$，那么直杆不能插入圆柱体。

否则，直杆可以通过将一部分插入圆柱体内，一部分伸出圆柱体外的方式插入圆柱体。我们可以计算出直杆的插入长度为：

$$ L' = \sqrt{L^2-x^2} $$

注意到直杆的另一端必须在圆柱体的底面上，因此直杆能够插入的最大长度为：

$$ L_{max} = \min (L', H) $$

因为直杆的长度不能超过圆柱体的高度。

代码

以下是用 Python 实现的代码。代码中变量名与上述数学公式相对应。为了方便理解，代码未进行优化。

from math import sqrt

def insert_length(R, H, r, L, d):
    x = sqrt(r**2 - d**2)
    if x >= R:
        return 0
    L1 = sqrt(L**2 - x**2)
    L2 = H - x
    return min(L1, L2)

参考文献

• Straight circular cylinder and rod