最长路径问题

在图论中，最长路径问题是要求一个有向图（或者无向图中的边带权的情况）中的一条路径，使得这条路径经过的边的权值之和最大。这个问题是 NP 困难问题，因此通常使用动态规划算法来解决。

动态规划

定义一个数组 dp[v] 表示以顶点 v 结束的最长路径的长度。

首先，初始化 dp[v] = 0，因为任何以 v 结束的路径长度至少为 0。

然后，对于每一个顶点 v，遍历它的每一个邻居节点 u，如果存在一条从 u 到 v 的有向边，那么更新 dp[v] = max(dp[v], dp[u] + w(u, v))，其中 w(u, v) 是从 u 到 v 的有向边的权重。

最终，整个数组 dp 中的最大值即为所求。

示例代码

def longest_path(graph, start):
    n = len(graph)
    dp = [0] * n
    visited = [False] * n

    def dfs(v):
        visited[v] = True
        for u in graph[v]:
            if not visited[u]:
                dfs(u)
            dp[v] = max(dp[v], dp[u] + graph[u][v])

    dfs(start)
    return max(dp)

# 例子
graph = [
    {1: 2, 2: 3},
    {2: 1, 3: 4},
    {3: 2},
    {}
]
start = 0
print(longest_path(graph, start))  # 6

总结

最长路径问题在实际中有很多应用，比如在计算机网络中用于优化网络的路由，和在生物学中用于推断基因之间的相似性。虽然它是 NP 困难问题，但是使用动态规划算法可以解决一般的情况。