一个众所周知的事实是，没有关于NP完全问题的多项式时间解，这些问题在现实世界中经常发生(例如，请参见此，此和此)。因此，必须有一种处理它们的方法。我们已经看到了针对这些问题的算法，这些算法为p近似值(例如，旅行推销员的近似值为2)。我们可以做得更好吗?
P olynomial定时器阿pproximation小号cheme(PTAS)是一种类型的，其提供用户到控制精度这是期望的特征的近似算法。这些算法采用了一个附加参数ε> 0，并提供了一个最小化近似(1 +ε)和最大化近似(1 –ε)的解决方案。例如考虑最小化问题，如果ε为0.5，则PTAS算法提供的解为1.5近似值。 PTAS的运行时间必须是n的多项式，但是，它可以是ε的指数。
在PTAS算法中，多项式的指数会随着ε的减小而急剧增加，例如，如果运行时间为O(n (1 /ε)！ )，这是一个问题。有更严格的方案，F ully P olynomial定时器阿pproximation小号cheme(FPTAS)。在FPTAS中，算法需要对问题大小n和1 /ε均进行多项式运算。
示例(0-1背包问题)：
我们知道0-1背包是NP Complete。为此，有一个基于DP的伪多项式解决方案。但是，如果输入值很高，则解决方案将变得不可行，因此需要近似解决方案。一种近似的解决方案是使用贪婪方法(所有项目的每千克计算值，如果小于W，则将每千克的最高值放在首位)，但是贪婪方法不是PTAS，因此我们无法控制准确性。
以下是针对0-1背包问题的FPTAS解决方案：
输入：
W (背包容量)
val [0..n-1] (项目值)
wt [0..n-1] (项目的权重)
- 查找最大值的项目，即在val []中查找最大值。将该最大值设为maxVal。
- 计算所有值的调整系数k
k = (maxVal * ε) / n - 调整所有值，即创建一个新数组val'[]，该数组的值除以k。对每个值val [i]进行跟踪。
val'[i] = floor(val[i] / k) - 运行基于DP的解决方案以减少值，即val'[0..n-1]和所有其他参数相同。
上述解决方案在n和ε的多项式时间内均有效。该FPTAS提供的解决方案约为(1-ε)。想法是将一些值的最低有效位四舍五入，然后将它们限制在多项式和1 /ε的范围内。
例子：
val[] = {12, 16, 4, 8}
wt[] = {3, 4, 5, 2}
W = 10
ε = 0.5
maxVal = 16 [maximum value in val[]]
Adjustment factor, k = (16 * 0.5)/4 = 2.0
Now we apply DP based solution on below modified
instance of problem.
val'[] = {6, 8, 2, 4} [ val'[i] = floor(val[i]/k) ]
wt[] = {3, 4, 5, 2}
W = 10
解(1 –ε)* OPT如何?
在此， OPT是最佳值。令S为上述FPTAS算法产生的集合，S的总值为val(S)。我们需要证明
val(S) >= (1 - ε)*OPT 令O为最优解(总值为OPT的解)产生的集合，即val(O)= OPT。
val(O) - k*val'(O) <= n*k
[Because val'[i] = floor(val[i]/k) ] 经过动态编程步骤后，我们得到了一个最适合缩放实例的集合
因此必须至少与选择利润较小的集合O一样好。由此，我们可以得出结论，
val'(S) >= k . val'(O)
>= val(O) - nk
>= OPT - ε * maxVal
>= OPT - ε * OPT [OPT >= maxVal]
>= (1 - ε) * OPT 资料来源：
http://math.mit.edu/~goemans/18434S06/knapsack-katherine.pdf
https://zh.wikipedia.org/wiki/多项式时间近似算法