大师定理

主方法是用于解决以下形式的递归关系的公式：

T(n) = aT(n/b) + f(n),
where,
n = size of input
a = number of subproblems in the recursion
n/b = size of each subproblem. All subproblems are assumed 
     to have the same size.
f(n) = cost of the work done outside the recursive call, 
      which includes the cost of dividing the problem and
      cost of merging the solutions

Here, a ≥ 1 and b > 1 are constants, and f(n) is an asymptotically positive function.

渐近正函数意味着对于足够大的n ，我们有f(n) > 0 。

主定理用于以简单而快速的方式计算递归关系的时间复杂度(分而治之算法)。

如果a ≥ 1并且b > 1是常数，并且f(n)是渐近正函数，则递归关系的时间复杂度由下式给出：

T(n) = aT(n/b) + f(n)

where, T(n) has the following asymptotic bounds:

    1. If f(n) = O(nlogb a-ϵ), then T(n) = Θ(nlogb a).

    2. If f(n) = Θ(nlogb a), then T(n) = Θ(nlogb a * log n).

    3. If f(n) = Ω(nlogb a+ϵ), then T(n) = Θ(f(n)).

ϵ > 0 is a constant.

以上每个条件都可以解释为：

如果在每个级别上解决子问题的成本增加了某个系数，则f(n)的值将在多项式上小于n ^{log _b a} 。因此，时间复杂度被最后一级的成本所压制。 n ^{log _b a}
如果在每个级别上解决子问题的成本几乎相等，则f(n)的值为n ^{log _b a} 。因此，时间复杂度将是级别总数的f(n)倍。 n ^{log _b a} * log n
如果在每个级别上解决子问题的成本降低了某个因素，则f(n)的值将成倍地大于n ^{log _b a} 。因此，时间复杂度被f(n)的成本所压制。

母定理的求解示例

T(n) = 3T(n/2) + n2
Here,
a = 3
n/b = n/2
f(n) = n2

logb a = log2 3 ≈ 1.58 < 2

ie. f(n) < nlogb a+ϵ , where, ϵ is a constant.

Case 3 implies here.

Thus, T(n) = f(n) = Θ(n2)

大师定理的局限性

在以下情况下，不能使用主定理：

T(n)不是单调的。例如。 T(n) = sin n
f(n)不是多项式。例如。 f(n) = 2n
a不是常数。例如。 a = 2n
a < 1

在本教程中，您将学习什么是主定理以及如何将其用于解决递归关系。

大师定理

母定理的求解示例

大师定理的局限性