DAA递归关系

在算法设计与分析中，DAA递归关系是经常使用的工具，它用于将问题的复杂度转化为递归式，使其易于分析。

什么是递归？

递归是一种允许函数调用自身或其它函数的方法。在递归算法中，解决问题的方法会反复调用本身，直到满足出口条件。

递归一般分为两种：

1. 直接递归：函数直接调用自己。
2. 间接递归：函数互相调用，形成有向图结构。

DAA递归关系的定义

DAA递归关系又称为递推关系，通常用于递归算法的时间复杂度分析。

设一个递归算法的时间复杂度为$T(n)$，则它的递归式可以表示为：

$$ T(n) = aT(\frac{n}{b}) + f(n) $$

其中，$a$表示递归调用次数，$\frac{n}{b}$表示递归时的问题规模，$f(n)$表示递归出口的复杂度。

递归式的求解

求解递归式通常采用递归树或主方法进行分析。

递归树

递归树是一种可视化的分析方式，将递归式表示为一棵树，每个节点表示递归调用所需要的时间。树的深度表示递归次数，每层节点的数目表示递归问题规模的变化。

例：对于归并排序算法的递归式

$$ T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + n $$

可视化的递归树如下：

           n
        /     \
     n/2      n/2
    /   \    /   \
  n/4  n/4  n/4  n/4
   .     .    .    .
   .     .    .    .
   .     .    .    .
   1     1    1    1

从递归树中可以看出：“递归式的解法次数”$\times$ “每个解法的时间复杂度”$=$“递归式的解法的总时间复杂度”。

主方法

主方法是一种通用的求解递归式的方法，适用于形如：

$$ T(n) = aT(\alpha n) + f(n) $$

其中，$a > 0,\alpha > 0$。主方法的步骤如下：

1. 将式子展开，得到 $T(n) = aT(\alpha n) + f(n)$
2. 根据定义，得到 $a > 0,\alpha > 0$
3. 比较 $f(n)$ 与 $n^{\log_{\alpha}a}$ 的大小：
   1. 如果 $f(n) = O(n^{\log_{\alpha}a - \epsilon})$，其中 $\epsilon > 0$，则 $T(n) = \Theta(n^{\log_{\alpha}a})$
   2. 如果 $f(n) = \Theta(n^{\log_{\alpha}a}\log^kn)$，其中 $k \geq 0$，则 $T(n) = \Theta(n^{\log_{\alpha}a}\log^{k+1}n)$
   3. 如果 $f(n) = \Omega(n^{\log_{\alpha}a + \epsilon})$，其中 $\epsilon > 0$，并且 $af(\frac{n}{\alpha}) \leq cf(n)$，其中 $c < 1$，则 $T(n) = \Theta(f(n))$

例：对于归并排序算法的递归式

$$ T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + n $$

可使用主方法进行求解，得到 $a = 2, \alpha = 0.5, f(n) = n$。则：

$$ f(n) = n = n^{\log_{0.5}2} = \Theta(n^1) $$

因此，$T(n) = \Theta(n\log n)$。

总结

DAA递归关系是递归算法的时间复杂度分析方法。通过递归关系，可以将递归算法的时间复杂度表示为递推式，然后通过递归树或主方法求解递推式，得到算法的时间复杂度。