在本章中，我们将讨论递归技术如何导出序列并用于解决计数问题。以递归方式查找序列项的过程称为递归关系。我们研究线性递归关系的理论及其解决方案。最后，我们介绍生成函数以解决递归关系。

定义

递归关系是一个递归定义一个序列的方程，其中下一项是前一项的函数(将$ F_n $表达为$ F_i $与$ i

示例-斐波那契数列-$ F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2} $，河内塔-$ F_n = 2F_ {n-1} + 1 $

线性递归关系

阶数为k或k的线性递归方程式为递归方程式，格式为$ x_n = A_1 x_ {n-1} + A_2 x_ {n-1} + A_3 x_ {n-1} + \点A_k x_ {nk} $($ A_n $是一个常数，而$ A_k \ neq 0 $)是作为一阶多项式的数字序列。

这些是线性递归方程的一些示例-

如何解决线性递归关系

假设两个有序的线性递归关系为-$ F_n = AF_ {n-1} + BF_ {n-2} $，其中A和B为实数。

上述递归关系的特征方程为-

$$ x ^ 2-轴-B = 0 $$

找到根可能会发生三种情况-

情况1-如果此等式因$(x- x_1)(x- x_1)= 0 $而产生两个不同的实根$ x_1 $和$ x_2 $，则$ F_n = ax_1 ^ n + bx_2 ^ n $是解。 [这里a和b是常数]

情况2-如果此等式的因子为$(x- x_1)^ 2 = 0 $并且产生单个实根$ x_1 $，则$ F_n = a x_1 ^ n + bn x_1 ^ n $是解决方案。

情况3-如果方程产生两个不同的复数根，即极性形式的$ x_1 $和$ x_2 $ $ x_1 = r \ angle \ theta $和$ x_2 = r \ angle(-\ theta)$，则$ F_n = r ^ n(a cos(n \ theta)+ b sin(n \ theta))$是解。

问题1

解决递归关系$ F_n = 5F_ {n-1}-6F_ {n-2} $其中$ F_0 = 1 $和$ F_1 = 4 $

解

递归关系的特征方程为-

$$ x ^ 2-5x + 6 = 0，$$

因此，$(x-3)(x-2)= 0 $

因此，根是-

$ x_1 = 3 $和$ x_2 = 2 $

根源是真实而独特的。因此，这是案例1的形式

因此，解决方案是-

$$ F_n = ax_1 ^ n + bx_2 ^ n $$

在这里，$ F_n = a3 ^ n + b2 ^ n \(As \ x_1 = 3 \ and \ x_2 = 2)$

因此，

$ 1 = F_0 = a3 ^ 0 + b2 ^ 0 = a + b $

$ 4 = F_1 = a3 ^ 1 + b2 ^ 1 = 3a + 2b $

求解这两个方程，我们得到$ a = 2 $和$ b = -1 $

因此，最终的解决方案是-

$$ F_n = 2.3 ^ n +(-1)。 2 ^ n = 2.3 ^ n-2 ^ n $$

问题2

解决递归关系-$ F_n = 10F_ {n-1}-25F_ {n-2} $其中$ F_0 = 3 $和$ F_1 = 17 $

解

递归关系的特征方程为-

$$ x ^ 2-10x -25 = 0 $$

因此$(x-5)^ 2 = 0 $

因此，存在单个实根$ x_1 = 5 $

由于存在单个实值根，因此采用情况2的形式

因此，解决方案是-

$ F_n = ax_1 ^ n + bnx_1 ^ n $

$ 3 = F_0 = a.5 ^ 0 +(b)(0.5)^ 0 = a $

$ 17 = F_1 = a.5 ^ 1 + b.1.5 ^ 1 = 5a + 5b $

求解这两个方程，我们得到$ a = 3 $和$ b = 2/5 $

因此，最终解决方案是-$ F_n = 3.5 ^ n +(2/5).n.2 ^ n $

问题3

解决递归关系$ F_n = 2F_ {n-1}-2F_ {n-2} $其中$ F_0 = 1 $和$ F_1 = 3 $

解

递归关系的特征方程为-

$$ x ^ 2 -2x -2 = 0 $$

因此，根是-

$ x_1 = 1 + i $和$ x_2 = 1-i $

以极性形式，

$ x_1 = r \ angle \ theta $和$ x_2 = r \ angle(-\ theta)，$其中$ r = \ sqrt 2 $和$ \ theta = \ frac {\ pi} {4} $

根是虚构的。因此，这是案例3的形式。

因此，解决方案是-

$ F_n =(\ sqrt 2)^ n(a cos(n。\ sqcap / 4)+ b sin(n。\ sqcap / 4))$

$ 1 = F_0 =(\ sqrt 2)^ 0(a cos(0。\ sqcap / 4)+ b sin(0。\ sqcap / 4))= a $

$ 3 = F_1 =(\ sqrt 2)^ 1(a cos(1。\ sqcap / 4)+ b sin(1。\ sqcap / 4))= \ sqrt 2(a / \ sqrt 2 + b / \ sqrt 2 )$

求解这两个方程，我们得到$ a = 1 $和$ b = 2 $

因此，最终的解决方案是-

$ F_n =(\ sqrt 2)^ n(cos(n。\ pi / 4)+ 2 sin(n。\ pi / 4))$

非齐次递归关系和特殊解

递归关系如果采用以下形式，则称为非均匀关系

$ F_n = AF_ {n-1} + BF_ {n-2} + f(n)$其中$ f(n)\ ne 0 $

其关联的齐次递归关系为$ F_n = AF_ {n-1} + BF_ {n-2} $

非齐次递归关系的解$(a_n)$有两个部分。

第一部分是相关的齐次递归关系的解$(a_h)$，第二部分是特定的解$(a_t)$。

$$ a_n = a_h + a_t $$

使用上一部分中讨论的过程来完成对第一部分的解决方案。

为了找到特定的解决方案，我们找到了合适的试用解决方案。

设$ f(n)= cx ^ n $;令$ x ^ 2 = Ax + B $为相关的齐次递归关系的特征方程，令$ x_1 $和$ x_2 $为其根。

• 如果$ x \ ne x_1 $和$ x \ ne x_2 $，则$ a_t = Ax ^ n $

• 如果$ x = x_1 $，$ x \ ne x_2 $，则$ a_t = Anx ^ n $

• 如果$ x = x_1 = x_2 $，则$ a_t = An ^ 2x ^ n $

例

假设非齐次递归关系为$ F_n = AF_ {n-1} + BF_ {n-2} + f(n)$，特征根$ x_1 = 2 $和$ x_2 = 5 $。对于$ f(n)$的不同可能值的尝试解决方案如下-

问题

解决递归关系$ F_n = 3F_ {n-1} + 10F_ {n-2} + 7.5 ^ n $其中$ F_0 = 4 $和$ F_1 = 3 $

解

这是线性非齐次关系，其中关联的齐次方程为$ F_n = 3F_ {n-1} + 10F_ {n-2} $和$ f(n)= 7.5 ^ n $

其相关的齐次关系的特征方程为-

$$ x ^ 2-3x -10 = 0 $$

或$(x-5)(x + 2)= 0 $

或$ x_1 = 5 $和$ x_2 = -2 $

因此$ a_h = a.5 ^ n + b。(-2)^ n $，其中a和b是常数。

由于$ f(n)= 7.5 ^ n $，即形式为$ cx ^ n $，因此at的合理试用解为$ Anx ^ n $

$ a_t = Anx ^ n = An5 ^ n $

将解决方案放入递归关系后，我们得到-

$ An5 ^ n = 3A(n – 1)5 ^ {n-1} + 10A(n – 2)5 ^ {n-2} + 7.5 ^ n $

将双方除以$ 5 ^ {n-2} $，我们得到

$ An5 ^ 2 = 3A(n-1)5 + 10A(n-2)5 ^ 0 + 7.5 ^ 2 $

或$ 25An = 15An-15A + 10An-20A + 175 $

或$ 35A = 175 $

或$ A = 5 $

因此， $ F_n = An5 ^ n = 5n5 ^ n = n5 ^ {n + 1} $

递归关系的解可以写成-

$ F_n = a_h + a_t $

$ = a.5 ^ n + b。(-2)^ n + n5 ^ {n + 1} $

将$ F_0 = 4 $和$ F_1 = 3 $的值放在上面的等式中，我们得到$ a = -2 $和$ b = 6 $

因此，解决方案是-

$ F_n = n5 ^ {n + 1} + 6。(-2)^ n -2.5 ^ n $

产生函数

生成函数表示序列，其中序列的每个项均表示为形式幂序列中变量x的系数。

数学上，对于无限序列，例如$ a_0，a_1，a_2，\ dots，a_k，\ dots $，生成函数将为-

$$ G_x = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + \ dots + a_kx ^ k + \ dots = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} a_kx ^ k $$

一些应用领域

生成函数可用于以下目的-

• 用于解决各种计数问题。例如，更改Rs的方法数量。 100张面额为Rs.1，Rs.2，Rs.5，Rs.10，Rs.20和Rs.50的纸币

• 用于解决递归关系

• 为了证明一些组合身份

• 用于寻找序列项的渐近公式

问题1

带有$ a_k = 2 $和$ a_k = 3k $的序列$ \ lbrace {a_k} \ rbrace $的生成函数是什么?

解

当$ a_k = 2 $时，生成函数$ G(x)= \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} 2x ^ {k} = 2 + 2x + 2x ^ {2} + 2x ^ {3} + \ dots $

当$ a_ {k} = 3k时，G(x)= \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} 3kx ^ {k} = 0 + 3x + 6x ^ {2} + 9x ^ {3} + \点\ dots $

问题2

无限级数的生成函数是什么? $ 1，1，1，1，\ dots $?

解

在这里，$ a_k = 1 $，$ 0 \ le k \ le \ infty $

因此，$ G(x)= 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + \ dots \ dots = \ frac {1} {(1-x)} $

一些有用的生成函数

• 对于$ a_k = a ^ {k}，G(x)= \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} a ^ {k} x ^ {k} = 1 + ax + a ^ {2} x ^ { 2} + \点\点\点= 1 /(1-斧头)$

• 对于$ a_ {k} =(k + 1)，G(x)= \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty}(k + 1)x ^ {k} = 1 + 2x + 3x ^ {2} \ dots \ dots \ dots = \ frac {1} {(1-x)^ {2}} $

• 对于$ a_ {k} = c_ {k} ^ {n}，G(x)= \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} c_ {k} ^ {n} x ^ {k} = 1 + c_ {1} ^ {n} x + c_ {2} ^ {n} x ^ {2} + \ dots \ dots \ dots + x ^ {2} =(1 + x)^ {n} $

• 对于$ a_ {k} = \ frac {1} {k！}，G(x)= \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {k}} {k！} = 1 + x + \ frac {x ^ {2}} {2！} + \ frac {x ^ {3}} {3！} \ dots \ dots \ dots = e ^ {x} $