如何使用递归树方法解决时间复杂度递归关系？

递归树方法是一种求解递归关系的方法。在该方法中，递归关系被转换为递归树。每个节点代表在不同递归级别产生的成本。为了找到总成本，将所有级别的成本相加。

用递归树法求解递归关系的步骤：

1. 为给定的递归关系绘制递归树
2. 计算 每个级别的成本并计算递归树中级别的总数。
3. 统计最后一层的节点总数，计算最后一层的成本
4. 总结递归树中所有级别的成本

让我们通过一些例子来看看如何解决这些递推关系：

问题 1： T(n) = 2T(n/2) + c

解决方案：

• 第 1 步：绘制递归树

递归树

• 第 2 步：计算每个级别完成的工作或成本，并计算递归树中级别的总数

每个级别成本的递归树

计算总关卡数——

选择从根节点到叶节点的最长路径

 n/2⁰ -→ n/2¹ -→ n/2² -→ ……… -→ n/2^k

最后一层问题的大小 = n/2 ^k

 最后一级问题的大小变为 1

 n/2^k = 1

 2^k = n

  k = log₂(n)   

递归树中的总级别数 = k +1 = log ₂ (n) + 1

• Step 3:统计最后一层的节点总数，计算最后一层的成本

 No. of nodes at level 0 = 2⁰ = 1

  No. of nodes at level 1 = 2¹ = 2

 ………………………………………………………

 No. of nodes at level log₂(n) = 2^log₂(n) = n^log₂(2) = n

 Cost of sub problems at level log₂(n) (last level) = nxT(1) = nx1 = n  

• 第 4 步：总结递归树中所有级别的成本  

   T(n) = c + 2c + 4c + —- + (no. of levels-1) times + last level cost

 = c + 2c + 4c + —- + log₂(n) times + Θ(n)

 = c(1 + 2 + 4 + —- + log₂(n) times) + Θ(n)

 1 + 2 + 4 + —– + log₂(n) times –> 2⁰ + 2¹ + 2² + —– + log2(n) times –> Geometric Progression(G.P.)

= c(n) + Θ(n)

因此， T(n) = Θ(n)

问题 2：T(n) = T(n/10) + T(9n/10) + n

解决方案：

• 第 1 步：绘制递归树

递归树

• 第 2 步：计算每个级别完成的工作或成本，并计算递归树中级别的总数

每个级别成本的递归树

计算总关卡数——

选择从根节点到叶节点的最长路径

(9/10)⁰n –> (9/10)¹n –> (9/10)²n –> ……… –> (9/10)^kn

 Size of problem at last level = (9/10)^kn

 At last level size of problem becomes 1

(9/10)^kn = 1

(9/10)^k = 1/n

   k = log_10/9(n)

递归树中的总级别数 = k +1 = log _10/9 (n) + 1

• Step 3:统计最后一层的节点总数，计算最后一层的成本

No. of nodes at level 0 = 2⁰ = 1

No. of nodes at level 1 = 2¹ = 2

………………………………………………………

No. of nodes at level log_10/9(n) = 2^log_10/9(n) = n^log_10/9(2)

Cost of sub problems at level log2(n) (last level) = n^log_10/9(2) x T(1) = n^log_10/9(2) x 1 = n^log_10/9(2)  

• Step 4: Sum up the cost all the levels in recursive tree  

T(n) = n + n + n + —- + (no. of levels – 1) times + last level cost

 = n + n + n + —- + log_10/9(n) times + Θ(n^log_10/9(2))

= nlog_10/9(n) + Θ(n^log_10/9(2))

因此， T(n) = Θ(nlog _10/9 (n))