八角形数

什么是八角形数？

在数学中，八角形数也称为八边形数，是一种多边形数，表示为 $P_{8,n} = 3n^2 - 2n$，其中 $n$ 为正整数。

八角形数的名字来源于它的图形形状：一个正八边形，它可以按如下方式表示：

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每个八角形数都可以表示为正整数 $n$ 的八角形，其中 $n$ 为该八角形的边数。

如何计算八角形数？

根据八角形数的定义，我们可以使用简单的公式 $P_{8,n} = 3n^2 - 2n$ 来计算八角形数。下面是 Python 示例代码：

def eight_sided(n: int) -> int:
    """
    计算八角形数
    """
    return 3 * n * n - 2 * n

# 计算前 10 个八角形数
for i in range(1, 11):
    print(eight_sided(i))

输出结果为：

1
8
21
40
65
96
133
176
225
280

八角形数的特性

• 每个八角形数都可以写为 $n$ 个连续奇数的和，例如 $P_{8,6} = 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 66$。
• 八角形数是四角形数和十二角形数之和：$P_{8,n} = P_{4,n-1} + P_{12,n-2}$。
• 八角形数之和是另一个八角形数：$P_{8,n} + P_{8,n-1} = P_{8,2n-1}$。例如 $P_{8,3} + P_{8,2} = 40 + 21 = 61 = P_{8,5}$。

结论

八角形数作为一种多边形数，具有一些有趣的数学特性。通过使用简单的公式或基于递归的算法，我们可以轻松地计算八角形数。