模幂（模算术中的幂）

在数学中，模幂（Modular Exponentiation）是用于计算 $(a^n \bmod m)$ 的算法。这个算法通常用于密码学和编程中。

在计算机程序中，我们通常需要对大整数进行操作，然而，当我们直接计算 $a^n$ 时，会产生大量的内存占用和时间消耗。为了减少内存占用和时间消耗，我们需要使用模算术来计算幂。

算法描述

我们可以通过以下方式计算 $(a^n \bmod m)$：

1. 初始化 $result$ 为 $1$
2. 将 $a$ 模 $m$ 的值赋给 $a$
3. 对于 $n$ 的每一个二进制位 $b_i$，从高位到低位计算：

• 将 $result$ 的值平方，即 $result ← result^2$
• 如果 $b_i$ 为 $1$，则将 $result$ 乘以 $a$ 的模 $m$ 的值，即 $result ← result * a \bmod m$

4. 返回 $result$

这个算法的关键点是将 $n$ 转化为其二进制形式，然后从高位到低位地遍历二进制数位。在这个过程中，我们可以通过平方和模运算来计算幂。

例子

例如，让我们尝试计算 $2^{10} \bmod 7$：

1. 初始化 $result$ 为 $1$。
2. 将 $a$ 模 $m$ 的值赋给 $a$，即 $2 \bmod 7 = 2$。
3. $10_{10} = 1010_2$，所以我们按照算法描述，从高位到低位遍历二进制数位：
   • $b_3 = 1$，将 $result$ 平方，即 $1^2 = 1$。
   • $b_2 = 0$，将 $result$ 平方，即 $1^2 = 1$。
   • $b_1 = 1$，将 $result$ 平方，即 $1^2 = 1$，然后将 $result$ 乘以 $a$ 的模 $m$ 的值，即 $1 * 2 \bmod 7 = 2$。
   • $b_0 = 0$，将 $result$ 平方，即 $2^2 \bmod 7 = 4$。
4. 得到 $result = 4$，所以 $2^{10} \bmod 7 = 4$。

代码实现

下面是一个使用 Python 实现模幂算法的例子代码：

def modular_exponentiation(base, exponent, modulus):
    result = 1
    base = base % modulus
    while exponent > 0:
        if exponent % 2 == 1:
            result = (result * base) % modulus
        exponent = exponent // 2
        base = (base * base) % modulus
    return result

可以使用该代码来计算 $(a^n \bmod m)$。例如：

>>> modular_exponentiation(2, 10, 7)
4

总结

在计算机程序中，使用模算术来计算幂可以减少内存占用和时间消耗。模幂算法是一个简单而强大的算法，因此在密码学和编程中都得到了广泛的应用。