算术系列

数字的有序列表称为序列。每个数字就是序列，称为术语。序列通常具有可让我们预测序列的下一项的模式。算术级数是序列的总和，其中每个项通过加和减一个常数从上一个项中计算出来。或者我们可以说算术级数可以定义为一个数字序列，其中对于每对连续项，第二个数字是通过在前一个数字上添加一个常数来找到的。
在算术级数/级数中，我们遇到三个术语：

• 共同差异
• ^第n^个项(_正)
• 前n个项的总和(S _n )

在此，以上所有三个项代表算术级数的性质。
为了找到算术级数的共同差异，请遵循以下步骤：

 d = a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = a₄ – a₃….. = a_n-a_n-1

其中，a ₁ ，a ₂ ，a ₃ ….a _n是级数的项，而“ d”是可以为正，负或零的共同差。

同样，算术级数也可以以共同差的形式编写，如下所示：

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, ………. , a + (n – 1)d

Where, “a” is the first term of series. 

阅读算术级数时有两个主要公式：
1)算术级数的第n个项
2)前n个项的总和

算术级数的第n个项

第n项的公式为：

a_n = a + (n−1)d

其中，a =第一学期
d =共同差异
n =项数
_n =第n个项

前n个项的总和

如果我们知道该系列的第一项和总项，就可以容易地找到该系列的前“ n”项之和。查找第一个“ n”项之和的公式为：

S_n = n/2 [2a + (n−1)d]

其中a =第一项
d =共同差异
n =项数。

算术系列Sigma表示法

Sigma表示法如下所示：

^{ΣF 2} _{N = I} [表达式]

在上面的表达式中，“ i”描述了初始值。 “ f”表示最终值，表达式表示函数，“ E”符号是希腊符号sigma。
例如：
_{^10Σn = 1的}第(3n + 7)在此，n的值以“ 1”开始，以“ 10”结束。当我们开始将n的值放入时，我们得到如下的算术级数：
10 + 13 + 16 + 19……+ 37

现在，对于sigma表示法，存在用于找到上面给出的算术级数之和的公式
S _n = n / 2(a ₁ + a _n )

在这里，“ n”是序列中的项数，而a1和an分别是序列中的第一项和最后一项。
对于上面的示例，我们获得以下值：

n = 10 
a₁ = 10 
a_n = 37 

将值放在上面的方程式中
锡= 10(10 + 37)/ 2 = 235

所以，
_{^10Σn = 1的}第(3n + 7)= 235

算术级数和表达式

当我们得到如下的算术级数表达式时：
1 + 5 + 9 +……+ 45
现在，我们知道求和的表达式如下：
S _n = n / 2(a ₁ + a _n )

在这里我们知道价值
a ₁ = 1，a _n = 45，d =(5-1)= 4，但是我们不知道’n’的值，因此可以使用以下方法找到它：
n =(an – a1)/ d =(45 – 1)/ 4 = 11

因此，n的值为11。
计算级数之和为Sn = n / 2(a ₁ + a _n )
S _n = 11(1 + 45)/ 2 = 253

算术级数递归公式

递归公式提供两个信息：

1)序列的第一项
2)模式规则，用于从其前面的术语中查找任何术语

假设我们有级数3、5、7…..那么这里级数的第一项是₁ = 3
现在，从系列上方，我们看到_n的公式如下：
如果₁ = 3比_N = A(N-1)+ 2

因此，我们必须在上一项添加“ 2”才能到达该系列的下一项。
因此，在下面找到该术语的其余部分：
a ₁ = 3，a ₂ = a ₁ +2 = 3 + 2 = 5，a ₃ = a ₂ + 2 = 5 + 2 = 7，a ₄ = a ₃ + 2 = 7 + 2 = 9，a ₅ = a ₄ + 2 = 11…依此类推。

有限算术级数公式的证明

我们知道S _n = n / 2(a ₁ + a _n )
正如我们在S _n处知道的是’n’项的算术级数之和，因此，我们可以将其显示如下：

S_n = 1 + 2 + 3….+ (n-1) + n

S_n = n + (n-1) +…+ 3 + 2 + 1 

将两个Sn系列相加，我们得到以下结果：

 2S_n = n+1 + 2+(n-1) + 3+(n-2)…..

2S_n = n(n+1)

S_n = n(n+1)/2

在上面的公式中，我们发现左侧每个项的总和在’n’次内为’n + 1’。
因此，我们可以证明S _n = n(n + 1)/ 2