模幂运算（递归）

前言

在密码学、计算机安全以及其它许多计算机科学领域中，模幂运算（Modular Exponentiation）是一种非常重要的计算，它的基本形式是：

$$ a^b \ mod \ m $$

也就是求 $a$ 的 $b$ 次幂对 $m$ 取余的值。模幂运算广泛应用于加密算法（如RSA），哈希函数以及校验码（如CRC）等领域。

在本文中，我们将介绍模幂运算的递归算法实现。

算法分析

我们首先来看一下模幂运算的简单实现方式，即直接循环计算，并对每次乘积取模，如下所示：

def modexp(a, b, m):
    res = 1
    for i in range(b):
        res *= a
        res %= m
    return res

其时间复杂度为 $O(b)$，并且当 $b$ 非常大时，计算效率会非常低下。因此，我们需要考虑一些优化的方式。

我们可以利用指数位的二进制表示，将 $b$ 分解为 $2^0$，$2^1$，$2^2$，…，$2^k$，然后每次乘积都平方，最后根据指数位二进制表示中的 $1$ 对应的幂次加权求和，即为所求结果。

举个例子，假设要计算 $a^{13} \ mod \ m$：

13 = 1*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1

则有：

a**13 = a**8 * a**4 * a**1

此时，我们可以依次计算出 $a^{2^0}, a^{2^1}, a^{2^2}, ...$ 的取模值，即 $a^1, a^2, a^4, a^8$，然后根据二进制表示中的 $1$ 对应的幂次加权求和，即可得到 $a^{13} \ mod \ m$ 的结果。

具体实现方式可以参考下面的代码（递归实现）：

def modexp(a, b, m):
    if b == 0:
        return 1
    elif b % 2 == 0:
        return modexp(a*a % m, b//2, m)
    else:
        return a * modexp(a, b-1, m) % m

这个递归函数的实现方式非常简洁明了。当 $b=0$ 时，返回 $1$；当 $b$ 为偶数时，将 $a$ 平方，对 $m$ 取模，指数除以 $2$，然后递归调用；当 $b$ 为奇数时，暴力计算 $a$ 与 $modexp(a, b-1, m)$ 的乘积，对 $m$ 取模，然后返回结果。

这个递归算法的时间复杂度为 $O(log_2 b)$，因为每次递归调用，指数都会除以 $2$，直到最后指数降为 $0$，因此一共递归了 $log_2 b$ 层。

总结

模幂运算是密码学、计算机安全等领域中非常重要的一种计算方式。本文介绍了模幂运算的递归算法实现方式，通过采用指数位二进制分解，加速了计算效率。虽然递归算法会增加函数调用开销，但由于嵌套调用次数很少，因此不会对效率造成太大影响。