编辑距离 | DP 使用记忆化

介绍

编辑距离又称Levenshtein距离，指的是两个字符串之间由一个转换为另一个所需的最少编辑操作次数。这里的编辑操作指的是插入、删除和替换。编辑距离用于衡量两个字符串之间的相似度。

算法原理

使用动态规划（DP）算法来计算编辑距离。该算法思路是将一个字符串转换为另一个字符串的编辑距离分解为更小的子问题。做法是：设dp[i][j]表示将字符串A的前i个字符转换为字符串B的前j个字符所需的最少编辑操作次数。然后对于每个dp[i][j]，从以下三种情况中选择编辑操作次数最小的一个：

• 将A的前i-1个字符转换为B的前j个字符所需要的最小次数，再删掉A的第i个字符
• 将A的前i个字符转换为B的前j-1个字符所需要的最小次数，再在A的第i个位置插入B的第j个字符
• 将A的前i-1个字符转换为B的前j-1个字符所需要的最小次数，如果A的第i个字符与B的第j个字符相同，则不需要任何操作，否则需要将A的第i个字符替换为B的第j个字符

代码实现

使用记忆化的方式优化计算复杂度，代码如下：

def min_edit_distance(A: str, B: str, dp: List[List[int]], i: int, j: int) -> int:
    if i == 0:
        return j
    if j == 0:
        return i
    if dp[i][j] != -1:
        return dp[i][j]
    if A[i-1] == B[j-1]:
        dp[i][j] = min_edit_distance(A, B, dp, i-1, j-1)
        return dp[i][j]
    dp[i][j] = 1 + min(
        min_edit_distance(A, B, dp, i, j-1),
        min_edit_distance(A, B, dp, i-1, j),
        min_edit_distance(A, B, dp, i-1, j-1)
    )
    return dp[i][j]

总结

编辑距离算法常用于字符串相似度计算、拼写检查、数据压缩等场景。通过动态规划算法计算出两个字符串之间的编辑距离，可以用于判断字符串相似度或纠正用户输入的错误。使用记忆化的方式优化计算复杂度，可以有效提高算法效率。