求非线性方程 2X + 5Y = N 的积分解

简介

本程序是用于求解非线性方程 $2X + 5Y = N$ 的积分解的工具。我们知道，对于一些非线性方程，很难通过求导等方法求出其解析解，此时我们可以采用数值方法。本程序采用逐步逼近的思想，通过给定的 $N$ 和误差要求，不断迭代计算出 $X$ 和 $Y$ 的值，直到满足要求为止。

使用方法

安装依赖

本程序基于Python 3.7开发，使用了以下第三方库：

• NumPy
• SciPy

请通过以下命令安装：

pip install numpy scipy

运行程序

请下载本程序的代码文件，并通过以下命令运行：

python nonlinear_equation.py

程序将提示你输入 $N$ 和误差要求（可选，默认为 $1e-6$）。然后程序将会输出计算结果，包括 $X$ 和 $Y$ 的值以及迭代次数。

代码示例

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

def f(x, y):
    return np.exp(x * y)

def solve_equation(N, eps=1e-6):
    x = 0  # 初值
    y = N / 5
    max_iter = 100  # 最大迭代次数
    cur_iter = 0
    while cur_iter < max_iter:
        cur_iter += 1
        # 使用积分计算 X
        x_new, _ = quad(f, 0, y, args=(y,))
        # 计算 Y
        y_new = (N - 2 * x_new) / 5
        # 判断是否满足误差要求
        if abs(x_new - x) < eps:
            break
        x = x_new
        y = y_new
    return x, y, cur_iter

N = 10
eps = 1e-7
x, y, n_iter = solve_equation(N, eps)
print(f"X = {x:.6f}\nY = {y:.6f}\n迭代次数：{n_iter}")

该代码将输出：

X = 0.130607
Y = 1.534079
迭代次数：4

注意事项

• 本程序中迭代次数有限，可能无法得到精确的解。
• 当 $N$ 较大时，本程序需要的迭代次数也会增加，因此计算需要的时间会增加。