渐近符号的性质

先决条件：渐近符号
假设f(n)，g(n)和h(n)是渐近函数，则数学定义为：

1. 如果f(n)=Θ(g(n)) ，则存在正常数c1，c2，n0，使得对于所有n， 0≤c1.g(n)≤f(n)≤c2.g(n) ≥n0
2. 如果f(n)= O(g(n)) ，那么对于所有n≥n0，存在正常数c，n0使得0≤f(n)≤cg(n)
3. 如果f(n)=＆ohm;(g(n)) ，那么对于所有n≥n0，存在正常数c，n0使得0≤cg(n)≤f(n)。
4. 如果f(n)= o(g(n)) ，则存在正常数c，n0，对于所有n≥n0，0≤f(n)
5. 如果f(n)=ω(g(n)) ，则存在正常数c，n0，对于所有n≥n0，0≤cg(n)

特性：

1. 反身性：
   如果给定f(n)

   f(n) = O(f(n))

   例子：
   如果F(N)= N ^3⇒为O(n ³⁾
   相似地，

   f(n) = Ω(f(n)) 
   f(n) = Θ(f(n)) 

2. 对称：

   f(n) = Θ(g(n)) if and only if g(n) = Θ(f(n))

   例子：
   如果f(n)= n ²且g(n)= n ^2，则f(n)=Θ(n ² )和g(n)=Θ(n ² )
   证明：

   • 必要部分：
     f(n)=Θ(g(n))⇒g(n)=Θ(f(n))
     根据Θ的定义，存在正常数c1，c2，no，使得对于所有n≥no的c1.g(n)≤f(n)≤c2.g(n)
     ⇒g(n)≤(1 / c1).f(n)和g(n)≥(1 / c2).f(n)
     ⇒(1 / c2).f(n)≤g(n)≤(1 / c1).f(n)
     由于c1和c2为正常数，因此很好地定义了1 / c1和1 / c2。因此，根据Θ的定义，g(n)=Θ(f(n))
   • 充实部分：
     g(n)=Θ(f(n))⇒f(n)=Θ(g(n))
     根据Θ的定义，存在正常数c1，c2，no，使得对于所有n≥no的c1.f(n)≤g(n)≤c2.f(n)
     ⇒f(n)≤(1 / c1).g(n)和f(n)≥(1 / c2).g(n)
     ⇒(1 / c2).g(n)≤f(n)≤(1 / c1).g(n)
     根据Theta(Θ)的定义，f(n)=Θ(g(n))
3. 伸缩性：

   f(n) = O(g(n)) and g(n) = O(h(n)) ⇒ f(n) = O(h(n))

   例子：
   如果f(n)= n，则g(n)= n ²和h(n)= n ³
   ⇒n为O(n ² )且n ²为O(n ³ )则n为O(n ³ )
   证明：
   f(n)= O(g(n))和g(n)= O(h(n))⇒f(n)= O(h(n))
   根据Big-Oh(O)的定义，存在正常数c，no使得对于所有n≥no的f(n)≤cg(n)
   ⇒f(n)≤c1.g(n)
   ⇒g(n)≤c2.h(n)
   ⇒f(n)≤c1.c2h(n)
   ⇒f(n)≤ch(n)，其中c = c1.c2根据定义，f(n)= O(h(n))
   相似地，

   f(n) = Θ(g(n)) and g(n) = Θ(h(n)) ⇒ f(n) = Θ(h(n))
   f(n) = Ω(g(n)) and g(n) = Ω(h(n)) ⇒ f(n) = Ω(h(n))
   f(n) = o(g(n)) and g(n) = o(h(n)) ⇒ f(n) = o(h(n))
   f(n) = ω(g(n)) and g(n) = ω(h(n)) ⇒ f(n) = ω(h(n))

4. 转置对称：

   f(n) = O(g(n)) if and only if g(n) = Ω(f(n))

   例子：
   如果f(n)= n且g(n)= n ^2，则n为O(n ² )且n ²为＆ohm;(n)
   证明：

   • 必要部分：
     f(n)= O(g(n))⇒g(n)=＆ohm;(f(n))
     根据Big-Oh(O)⇒f(n)≤cg(n)的定义，对于某些正常数c⇒g(n)≥(1 / c).f(n)
     根据Omega(＆ohm;)的定义，g(n)=＆ohm;(f(n))
   • 充实部分：
     g(n)=＆ohm;(f(n))⇒f(n)= O(g(n))
     根据欧米茄(Ω)的定义，对于某些正常数c⇒g(n)≥cf(n)⇒f(n)≤(1 / c).g(n)
     根据Big-Oh(O)的定义，f(n)= O(g(n))

   相似地，

   f(n) = o(g(n)) if and only if g(n) = ω(f(n)) 

5. 由于这些性质适用于渐近符号，因此可以在函数f(n)和g(n)以及两个实数a和b之间得出类比。
   • g(n)= O(f(n))类似于a≤b
   • g(n)=＆ohm;(f(n))类似于a≥b
   • g(n)=Θ(f(n))类似于a = b
   • g(n)= o(f(n))类似于a
   • g(n)=ω(f(n))类似于a> b
6. 观察结果：

   max(f(n), g(n)) = Θ(f(n) + g(n)) 

   证明：
   不失一般性，假设f(n)≤g(n)，⇒max(f(n)，g(n))= g(n)
   考虑，g(n)≤max(f(n)，g(n))≤g(n)
   ⇒g(n)≤max(f(n)，g(n))≤f(n)+ g(n)
   ⇒g(n)/ 2 + g(n)/ 2≤max(f(n)，g(n))≤f(n)+ g(n)
   根据我们的假设，我们可以写
   ⇒f(n)/ 2 + g(n)/ 2≤max(f(n)，g(n))≤f(n)+ g(n)
   ⇒(f(n)+ g(n))/ 2≤max(f(n)，g(n))≤f(n)+ g(n)
   通过Θ的定义，max(f(n)，g(n))=Θ(f(n)+ g(n))

7. O(f(n)) + O(g(n)) = O(max(f(n), g(n)))

   证明：
   不失一般性，假设f(n)≤g(n)
   ⇒O(f(n))+ O(g(n))= c1.f(n)+ c2.g(n)
   根据我们的假设，我们可以写
   O(f(n))+ O(g(n))≤c1.g(n)+ c2.g(n)
   ≤(c1 + c2)g(n)
   ≤cg(n)
   ≤c.max(f(n)，g(n))
   根据Big-Oh(O)的定义，
   O(f(n))+ O(g(n))= O(max(f(n)，g(n)))

笔记：

1. 如果lim _n→∞f (n)/ g(n)= c ，则c＆in; R +然后f(n)=Θ(g(n))
2. 如果lim _n→∞f (n)/ g(n)≤c ，则c＆in; R(c可以为0)然后f(n)= O(g(n))
3. 如果lim _n→∞f (n)/ g(n)= 0 ，则f(n)= O(g(n))和g(n)= O(f(n))
4. 如果lim _n→∞f (n)/ g(n)≥c ，则c＆in; R(c可以是∞)然后f(n)=＆ohm;(g(n))
5. 如果lim _n→∞f (n)/ g(n)=∞ ，则f(n)=＆ohm;(g(n))和g(n)=＆ohm;(f(n))