渐近符号以及如何计算它们

什么是渐近符号？

在算法分析中，我们通常关心的是算法输入大小 n 非常大时，算法的复杂度。渐近符号（asymptotic notation）就是用来描述算法复杂度的符号。渐近符号不会给出精确的运行时间，但它们提供了一种清晰的方式来描述算法的速度，这在比较不同的算法时非常有用。

通常使用三种渐近符号：

• 大 O 符号
• 大 Omega 符号
• 大 Theta 符号

计算渐近符号

大 O 符号

大 O 符号表示的是算法的上界。也就是说，给出一个复杂度为 O(f(n)) 的算法，保证算法的复杂度不会超过 f(n)。这里的“不会超过”，是指当 n 越来越大时，算法的复杂度在某个常数 k 以内。

例如，对于一个算法的复杂度 $T(n) = 2n^2 + 3n + 4$ 来说，我们可以使用 O(n^2) 来描述它。因为当 n 足够大时，2n^2 + 3n + 4 这个式子中 2n^2 的部分的影响会越来越大，而 3n+4 这个式子对整个式子的影响越来越小，则可以忽略掉。

使用大 O 符号，我们可以表示一些常见的复杂度如下：

• O(1)：常数复杂度。
• O(log n)：对数复杂度。
• O(n)：线性复杂度。
• O(n log n)：如归并排序等经典排序的复杂度。
• O(n^2)：平方复杂度。
• O(2^n)：指数复杂度。
• O(n!)：阶乘复杂度。

大 Omega 符号

大 Omega 符号表示算法的下界。也就是说，给出一个复杂度为 Ω(f(n)) 的算法，保证算法的复杂度不会低于 f(n)。

当然，我们也可以使用 O(n^2) 来描述上面例子中算法复杂度的时间下界，因为无论什么情况下，总要花费2n^2的时间。对于一个复杂度为 O(n log n) 的算法来说，它的下界就是 Ω(n log n)。

大 Theta 符号

大 Theta 符号表示算法的紧密界。也就是说，给出一个复杂度为 Θ(f(n)) 的算法，保证算法的复杂度在上下界之间。因为限制是在上下两个方向，所以当且仅当渐近符号的上下界相同时，才能使用大 Theta 符号。

例如，快速排序的时间复杂度平均为 O(n log n)，最好情况下为 O(n)，最坏情况下为 O(n^2)。因为 O(n^2) 是 O(n log n) 的上界，O(n) 是 O(n log n) 的下界，所以快速排序的时间复杂度可以用大 Theta 符号表示为 Θ(nlogn)。

总结

渐近符号是描述算法复杂度的重要工具。大 O 符号表示算法的上界，大 Omega 符号表示算法的下界，大 Theta 符号表示算法的紧密界。对于算法分析来说，掌握渐近符号对于比较不同算法的速度非常有帮助。