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📜  Kth正数的连续子数组的最小和

📅  最后修改于: 2021-04-23 20:38:30             🧑  作者: Mango

给定一个有序的正数数组，我们的任务是找到连续子数组的第k个最小和。

例子：

一个幼稚的方法是首先生成所有连续的子数组和，这可以通过预先计算前缀和在O(N ^ 2)中完成。对求和数组进行排序，并给出第k个最小元素。

更好的方法(对于具有小数和的数组)是使用二进制搜索。首先，我们将预先计算一个前缀和数组。现在，我们对数量进行二进制搜索，该数量可能是第k个最小和的候选值，该最小和将在[0，数组的总和]范围内。现在，假设我们有一个名为calculateRank的函数，它将为我们提供连续子数组和的排序数组中任何数字的排名。在二进制搜索中，我们将使用此calculateRank函数检查中间元素的秩是否小于K，如果是，则将起始点减小为mid + 1，否则将其大于或等于K，然后减小终点指向中1，并更新答案变量。
现在让我们回到calculateRank函数。在这里，我们也将使用二进制搜索，但是要在前缀和数组上进行迭代。我们将在数组上进行迭代，并假设我们在第ith个索引上，我们将计算以起始元素作为第i个元素(其总和较小)可以构成多少个子数组。而不是我们必须计算其排名的中间元素。我们对所有元素进行处理，然后将每个元素的计数相加，得出中间元素的排名。要计算从第ith个索引开始的子数组的数量，我们在前缀和上使用binary。

C++实现使事情更清晰。 

// CPP program to find k-th smallest sum
#include "algorithm"
#include "iostream"
#include "vector"
using namespace std;
  
int CalculateRank(vector prefix, int n, int x)
{
    int cnt;
  
    // Initially rank is 0.
    int rank = 0;
    int sumBeforeIthindex = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
  
        // Calculating the count the subarray with
        // starting at ith index
        cnt = upper_bound(prefix.begin(), prefix.end(), 
                sumBeforeIthindex + x) - prefix.begin();
  
        // Subtracting the subarrays before ith index.
        cnt -= i;
  
        // Adding the count to rank.
        rank += cnt;
        sumBeforeIthindex = prefix[i];
    }
    return rank;
}
  
int findKthSmallestSum(int a[], int n, int k)
{
    // PrefixSum array.
    vector prefix;
  
    // Total Sum initially 0.
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        sum += a[i];
        prefix.push_back(sum);
    }
  
    // Binary search on possible
    // range i.e [0, total sum]
    int ans = 0;
    int start = 0, end = sum;
    while (start <= end) {
  
        int mid = (start + end) >> 1;
  
        // Calculating rank of the mid and 
        // comparing with K
        if (CalculateRank(prefix, n, mid) >= k) {
             
            // If greater or equal store the answer
            ans = mid;
            end = mid - 1;
        }
        else {
            start = mid + 1;
        }
    }
  
    return ans;
}
  
int main()
{
    int a[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 };
    int k = 13;
    int n = sizeof(a)/sizeof(a[0]);
    cout << findKthSmallestSum(a, n, k);
    return 0;
}
输出： 
10

时间复杂度： O(N Log N Log SUM)。这里N是元素数，SUM是数组和。

CalculateRank函数需要O(N log N)时间，称为Log SUM时间。