证明 Clique Decision 问题是 NP-Complete

介绍

Clique Decision 问题是指在一个无向图中，找到一个固定大小的完全子图（所有节点互相连接）是否存在。这是一个 NP 问题，也就是说，我们可以很容易地验证这个问题的解是否正确，但是很难在多项式时间内解决。这篇文章将会证明 Clique Decision 问题是 NP-Complete 问题，也就是说，可以用 NP 问题归约算法把其他 NP 问题归约到 Clique Decision 问题。

定义

我们先来定义一下什么是 Clique，这可以让大家更好地理解这个问题：

在一个无向图中，假设有一个完全子图，这个完全子图中的所有节点都互相连接，那么这个完全子图就是一个 Clique。

而 Clique Decision 问题就是判断在一个给定的无向图中，是否存在一个大小为 k 的 Clique。

证明

我们将使用 Vertex Cover 问题归约到 Clique Decision 问题，证明 Clique Decision 问题也是 NP-Complete 问题。

Vertex Cover 问题

首先来看一下 Vertex Cover 问题是什么：

在一个无向图中，假设有一个大小为 k 的顶点集，这个顶点集覆盖了这个无向图中的所有边，那么这个顶点集就是一个 Vertex Cover。

而 Vertex Cover Decision 问题就是判断在一个给定的无向图中，是否存在一个大小为 k 的 Vertex Cover。

归约

我们要把 Vertex Cover 问题归约到 Clique Decision 问题。为了做到这点，我们需要构造一个新的无向图 G'。构造方法如下：

1. 对于原来的无向图 G 中的每个节点 x，我们在 G' 中都创建一个节点 x'。
2. 对于原来的无向图 G 中的每条边 (u, v)，我们在 G' 中都创建一条边 (u', v')。

下面是构造 G' 的示意图：

G:

  X -- Y
  |    |
  U -- V

G':

  X' -- Y' -- U'
         |    |
         V' -- X'

我们现在要证明 Vertex Cover Decision 问题可以归约到 Clique Decision 问题。具体过程如下：

1. 假设我们有一个大小为 k 的 Vertex Cover。我们在 G' 中选择这些顶点，并创建一个子图 G'v。继续选择没有被覆盖的边，对这些边的两个顶点进行组合，形成一个完全子图（Clique），这个 Clique 的大小就是 G 中没有被覆盖的边的数量。
2. 现在假设在 G' 中存在一个大小为 k 的完全子图，也就是存在一个 Clique，我们可以选择其中的任意一个顶点，然后将 G' 中这个顶点相连的所有边都删除，这样我们就得到了一个新的无向图 G''，这个新图中的所有节点都和 Clique 中的顶点相连。如果在 G'' 中存在一个大小为 k 的 Clique，那么 G 中就存在大小为 k 的 Vertex Cover。

根据上面的分析，我们已经证明了 Clique Decision 问题是 NP-Complete 问题。即使我们不能在多项式时间内解决这个问题，但是我们也可以用 NP 问题归约算法把其他 NP 问题归约到 Clique Decision 问题，以便更好地解决它们。

总结

在本文中，我们证明了 Clique Decision 问题是 NP-Complete 问题，同时我们也介绍了 Vertex Cover 问题。我们用 Vertex Cover 问题归约到 Clique Decision 问题，这证明了 Clique Decision 问题可以用 NP 问题归约算法解决。虽然我们不能在多项式时间内解决这个问题，但是我们可以把其他 NP 问题归约到 Clique Decision 问题，从而更好地解决 NP 问题。