证明 Clique Decision 问题是 NP-Complete

什么是 Clique Decision 问题

Clique Decision 问题是一个图论问题，给定一个无向图 G 和一个正整数 k，判断 G 中是否存在一个大小为 k 的团（图中 k 个顶点两两之间都有边相连）。团是一个完全子图，即其中所有顶点都相互连通。

证明 Clique Decision 问题是 NP-Complete

要证明 Clique Decision 问题是 NP-Complete，需要证明两部分内容：

1. Clique Decision 问题是 NP 问题

判断 Clique Decision 问题的正确性可以通过穷举法实现，时间复杂度为 O(n^k)。因此，可以在多项式时间内验证 Clique Decision 问题的解是正确的，即 Clique Decision 问题是 NP 问题。

2. Clique Decision 问题是 NP-hard 问题

我们需要找到另一个已知的 NP-hard 问题并证明其可以在多项式时间内归约到 Clique Decision 问题。

我们选择 Vertex Cover 问题。Vertex Cover 问题是给定一个无向图 G 和一个正整数 k，判断 G 是否存在一个大小为 k 的顶点集，使得每一条边都至少有一个端点在这个顶点集中。Vertex Cover 问题是 NP-hard 问题。

接下来证明 Vertex Cover 问题可以在多项式时间内归约到 Clique Decision 问题。具体步骤如下：

• 给定一个 Vertex Cover 问题的实例 (G, k)。
• 构造一个新图 G'，其中 G' 的顶点集与 G 的顶点集相同，G' 中所有的边都是 G 中不存在的边。
• 对于 G' 中的每一对不相邻的顶点 u 和 v，添加一条边 (u, v)。
• 返回 (G', k) 作为 Clique Decision 问题的实例。

上述步骤的时间复杂度为O(n^2)，可以在多项式时间内完成。现在证明 (G, k) 是一个 Vertex Cover 问题的解，当且仅当 (G', k) 是一个 Clique Decision 问题的解。

如果 (G, k) 是一个 Vertex Cover 问题的解，则 G 中至少存在 k 个顶点，使得每一条边都至少有一个端点在这些顶点中。因为 G' 中所有的边都是 G 中不存在的边，因此在 G' 中不存在大小为 k 的团。

如果 (G, k) 不是一个 Vertex Cover 问题的解，则 G 中最多存在 k-1 个顶点，使得每一条边都至少有一个端点在这些顶点中。在 G' 中这些顶点之间一定存在大小为 k 的团，因为对于任意两个不相邻的顶点，它们在 G 中至少有一个公共邻居，而在 G' 中这个公共邻居同时是它们之间的边缘顶点，它们可以组成一个大小为 k 的团。

因此，我们证明了 Vertex Cover 问题可以在多项式时间内归约到 Clique Decision 问题，并且可以在多项式时间内将 Clique Decision 问题的解转换为 Vertex Cover 问题的解。由于 Vertex Cover 问题是 NP-hard 问题，因此 Clique Decision 问题也是 NP-hard 问题。

综上所述，我们证明了 Clique Decision 问题是 NP-Complete 问题。

参考文献：

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Clique_problem
2. https://en.wikipedia.org/wiki/Vertex_cover
3. Michael R. Garey and David S. Johnson, "Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness" (1979).