复杂性类的类型

在计算机科学和算法分析中，复杂性类（complexity classes）是一种用于描述计算问题复杂性的形式体系。常见的复杂性类包括 P、NP、CoNP、NP hard 和 NP complete 等。本文将介绍这些复杂性类的定义和特征。

P 类

P 类是指在多项式时间内可解的计算问题构成的类别。换句话说，对于任意一个 P 类问题，都可以在多项式时间内计算出它的解。例如，对于一组给定的整数，判断其中是否包含质数是一个 P 类问题。

NP 类

NP 类是指在多项式时间内验证可解的计算问题构成的类别。也就是说，如果一个问题的解可以被多项式时间内验证，那么它就属于 NP 类。但是，与 P 类不同的是，NP 类问题的解可能需要超出多项式时间的复杂度去计算。例如，旅行商问题（TSP）就是一个 NP 类问题。

CoNP 类

CoNP 类与 NP 类相似，但是它是 NP 类问题的补集。也就是说，对于任意一个 CoNP 类问题，如果它的解能够在多项式时间内验证，那么它的求解过程就是不可能的。目前还没有发现任何 NP 类问题的补集属于 P 类或 CoNP 类，因此 CoNP 类问题被认为比 NP 类问题更难解决。

NP hard 类

NP hard 类是指至少和 NP 类问题一样困难的问题的集合，但却不一定属于 NP 类。也就是说，NP hard 类问题可能不是可解的，但是它们至少是 NP 类问题的等价问题。因此，如果一个问题被证明为 NP hard，那么它一定具有比 NP 类问题更高的复杂度。

NP complete 类

NP complete 类是 NP 类问题的最难问题的集合，也是 NP hard 类问题的子集。所有 NP complete 类问题都有以下性质：它们都是 NP 类问题，并且对于任何一个 NP 类问题，都存在一个等价于它的 NP complete 类问题。因此，如果一个 NP complete 类问题被证明可以在多项式时间内解决，那么所有的 NP 类问题也都可以在多项式时间内解决。

总结

复杂性类是计算机科学和算法研究中非常重要的概念。P 类问题在多项式时间内可解，NP 类问题在多项式时间内可验证，CoNP 类问题在多项式时间内不可能解决，NP hard 类问题至少和 NP 类问题一样困难，NP complete 类问题是 NP 类问题中最难问题的集合。在实际应用中，我们需要根据问题的性质和实际需求选择合适的算法和数据结构，以提高计算效率和减小时间复杂度。

# P 类示例
def is_prime(n):
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

# NP 类示例
# 旅行商问题的暴力搜索算法
def tsp(graph, path, visited, cur_len, shortestPath, shortestLen):
    if len(path) == len(graph):
        if cur_len + graph[path[-1]][path[0]] < shortestLen:
            shortestPath[:] = path
            shortestLen = cur_len + graph[path[-1]][path[0]]
    for next_node in range(len(graph)):
        if next_node not in visited:
            cur_len += graph[path[-1]][next_node]
            path.append(next_node)
            visited.add(next_node)
            tsp(graph, path, visited, cur_len, shortestPath, shortestLen)
            visited.discard(next_node)
            path.pop()
            cur_len -= graph[path[-1]][next_node]

# CoNP 类示例
# 可以被证明为同构问题是 CoNP hard 类问题
# 在多项式时间内判断两个图是否同构是不可能的

参考资料

• 《算法导论》
• 复杂性类
• 复杂度理论