仅具有非零数字且其位数之和为N且数字可被M整除的范围之间的数字计数

在数学中，我们经常利用一些技巧来计数符合特定条件的数字。这里，我们需要计算一定范围内，位数之和为N且可被M整除的数字数量。具体地说，我们只考虑由非零数字组成的数字。

解法

要想求解该问题，我们需要分别考虑数字的位数和各个位上的数字。 不难发现，数字的位数必定在N/M和N/M+1之间。对于每个位数，我们可以用组合数来计算有多少种可能的选择方式。

当位数为k时，由于数字不能以0开头，我们可以将第一位的选择数量减1，即k-1个可选数字。对于其余的k-1位，除了第一位以外，每一位都有9个可选数字。因此，第k位的选择数量为9^(k-1)。根据乘法原理，总共的选择数量为 (k-1) * 9^(k-1)。

那么，对于所有的k，我们可以将它们的选择数量相加，即可得到所有符合条件的数字数量。具体来说，代码如下：

def count_numbers_with_digit_sum(N: int, M: int) -> int:
    count = 0
    for k in range(N // M + 1, min(N // M * 10 + 1, N + 1)):
        n = N - k * M
        if n < 0:
            break
        c = 1
        for i in range(k - 1):
            c *= 9
            c *= (n - i)
            c //= (i + 1)
        count += c
    return count

其中，我们首先枚举可能的位数k，通过计算位数为k的选择数量，求出符合条件的所有数字的数量。具体来说，我们使用了一个组合数计算公式。

在计算时需要注意，我们只需要对那些位数之和为N的，且最高位不为0的数字计数。因此，在枚举位数时，需要将起始位数从(N/M)+1开始，而不是1。

测试

为了验证程序的正确性，我们可以选择一些简单的测试用例。例如：

assert count_numbers_with_digit_sum(2, 2) == 9
assert count_numbers_with_digit_sum(3, 2) == 54
assert count_numbers_with_digit_sum(4, 3) == 48

这些测试用例分别计算了位数之和为2、3、4的满足要求的数字数量。我们可以手动计算出这些数字，然后针对这些数字进行验证。如果程序输出与我们的预期相符，就说明程序是正确的。

在实际应用中，我们需要注意的是，对于较大的N和M，计算复杂度可能会较高。因此，我们需要适当优化算法，以确保它的效率可以接受。