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📅  最后修改于: 2021-04-22 08:29:04             🧑  作者: Mango

给定整数N。考虑前N个自然数A = {1,2,3，…，N}的集合。令M和P为A的两个非空子集。任务是计算(M，P)的无序对的数量，以使M和P为不交集。请注意，M和P的顺序无关紧要。

例子：

方法：

  1. 假设集合{1、2、3、4、5、6}中只有6个元素。
  2. 当您以1作为第一子集的元素之一来计算子集的数量时，得出的结果是211。
  3. 用2作为第一个子集的元素之一来计算子集的数量，得出的结果是65，因为不包括1，因为集的顺序无关紧要。
  4. 以3作为第一个集合的元素之一的子集数得出65，在这里可以观察到一个模式。
  5. 图案：
  6. 扩展到n-> 2(表示元素n-2 + 1 = n-1的数量)
    2 (n-2) * 3 (0) + 2 (n – 3) * 3 1 + 2 (n – 4) * 3 2 + 2 (n – 5) * 3 3 +…+ 2 (0) * 3 (n – 2)
    根据几何级数，a + a * r 0 + a * r 1 +…+ a * r (n – 1) = a *(r n – 1)/(r – 1)
  7. S(n)= 3 (n – 1) – 2 (n – 1) 。请记住，S(n)是子集的个数，其中第一个子集的元素之一为1，但要获得所需的结果，用T(n)= S(1)+ S(2)+ S(3)+…表示。 + S(n)
  8. 它还形成了几何级数，因此我们通过GP的总和公式进行计算
    T(n)=(3 n – 2 n +1 + 1)/ 2
  9. 因为我们需要T(n)％p，其中p = 10 9 + 7
    我们必须使用费马斯的小定理
    a -1 = a (m – 2) (mod m)用于模除

      下面是上述方法的实现：

      C++
      // C++ implementation of the approach
  
#include 
using namespace std;
#define p 1000000007
  
// Modulo exponentiation function
long long power(long long x, long long y)
{
    // Function to calculate (x^y)%p in O(log(y))
    long long res = 1;
    x = x % p;
  
    while (y > 0) {
        if (y & 1)
            res = (res * x) % p;
        y = y >> 1;
        x = (x * x) % p;
    }
  
    return res % p;
}
  
// Driver function
int main()
{
    long long n = 3;
  
    // Evaluating ((3^n-2^(n+1)+1)/2)%p
    long long x = (power(3, n) % p + 1) % p;
  
    x = (x - power(2, n + 1) + p) % p;
  
    // From  Fermats’s little theorem
    // a^-1 ? a^(m-2) (mod m)
  
    x = (x * power(2, p - 2)) % p;
    cout << x << "\n";
}

      Java
      // Java implementation of the approach
class GFG 
{ 
static int p = 1000000007;
  
// Modulo exponentiation function
static long power(long x, long y)
{
    // Function to calculate (x^y)%p in O(log(y))
    long res = 1;
    x = x % p;
  
    while (y > 0)
    {
        if (y % 2 == 1)
            res = (res * x) % p;
        y = y >> 1;
        x = (x * x) % p;
    }
    return res % p;
}
  
// Driver Code
public static void main(String[] args) 
{
    long n = 3;
  
    // Evaluating ((3^n-2^(n+1)+1)/2)%p
    long x = (power(3, n) % p + 1) % p;
  
    x = (x - power(2, n + 1) + p) % p;
  
    // From Fermats's little theorem
    // a^-1 ? a^(m-2) (mod m)
  
    x = (x * power(2, p - 2)) % p;
    System.out.println(x);
}
}
  
// This code is contributed by Rajput-Ji

      Python3
      # Python3 implementation of the approach
p = 1000000007
  
# Modulo exponentiation function
def power(x, y):
      
    # Function to calculate (x^y)%p in O(log(y))
    res = 1
    x = x % p
  
    while (y > 0):
        if (y & 1):
            res = (res * x) % p;
        y = y >> 1
        x = (x * x) % p
  
    return res % p
  
# Driver Code
n = 3
  
# Evaluating ((3^n-2^(n+1)+1)/2)%p
x = (power(3, n) % p + 1) % p
  
x = (x - power(2, n + 1) + p) % p
  
# From Fermats’s little theorem
# a^-1 ? a^(m-2) (mod m)
x = (x * power(2, p - 2)) % p
  
print(x)
  
# This code is contributed by Mohit Kumar

      C#
      // C# implementation of the approach
using System;
  
class GFG
{
static int p = 1000000007;
  
// Modulo exponentiation function
static long power(long x, long y)
{
    // Function to calculate (x^y)%p in O(log(y))
    long res = 1;
    x = x % p;
  
    while (y > 0)
    {
        if (y % 2 == 1)
            res = (res * x) % p;
        y = y >> 1;
        x = (x * x) % p;
    }
    return res % p;
}
  
// Driver Code
static public void Main ()
{
    long n = 3;
      
    // Evaluating ((3^n-2^(n+1)+1)/2)%p
    long x = (power(3, n) % p + 1) % p;
      
    x = (x - power(2, n + 1) + p) % p;
      
    // From Fermats's little theorem
    // a^-1 ? a^(m-2) (mod m)
      
    x = (x * power(2, p - 2)) % p;
    Console.Write(x);
}
}
  
// This code is contributed by ajit.

      输出： 
      6