从 1 到 N 没有相邻元素的整数子集的计数

介绍

在给定的整数范围内，我们要计算没有相邻元素的整数子集的数量。具体来说，对于从 1 到 N 的整数序列，我们需要找到所有不包含任何两个相邻整数的子集。

例如，当 N = 4 时，整数序列为 [1, 2, 3, 4]，那么满足条件的子集为 [1, 3]、[1, 4]、[2, 4]，总共有 3 个子集符合要求。

这个问题可以通过动态规划的方法解决，我们可以使用一个数组来记录以每个整数结尾的不包含相邻元素的子集数量。

动态规划解决方案

def countNonAdjacentSubset(N):
    if N <= 0:
        return 0
    
    dp = [0] * (N + 1)
    dp[1] = 1
    
    for i in range(2, N + 1):
        dp[i] = dp[i-2] + dp[i-1]
    
    return dp[N]

解释

1. 创建一个数组 dp 长度为 N + 1，并将所有元素初始化为 0。dp[i] 表示以第 i 个整数为结尾的不包含相邻元素的子集数量。
2. 将 dp[1] 设置为 1，表示只包含整数 1 的子集数量为 1。
3. 从整数 2 开始遍历到整数 N，对于每个整数 i，在不包含相邻元素的子集数量中，我们有两种选择：
   • 如果选择整数 i，那么整数 i-1 不能被选择，所以不包含相邻元素的子集数量为 dp[i-2]。
   • 如果不选择整数 i，那么整数 i-1 可以被选择，所以不包含相邻元素的子集数量为 dp[i-1]。
   • 综上所述，不包含相邻元素的子集数量为 dp[i-2] + dp[i-1]。
4. 最后返回 dp[N]，即以整数 N 为结尾的不包含相邻元素的子集数量。

示例

print(countNonAdjacentSubset(4))  # 输出: 3
print(countNonAdjacentSubset(5))  # 输出: 5
print(countNonAdjacentSubset(10))  # 输出: 89

以上代码片段可以通过动态规划的方法计算从 1 到 N 没有相邻元素的整数子集的数量。此解决方案具有时间复杂度 O(N)，空间复杂度 O(N)。