第 12 类 RD Sharma 解决方案 - 第 21 章有界区域 - 练习 21.2

简介

RD Sharma是印度著名的数学家，他的教材是印度学生必修的数学教材之一。其中“第 12 类 RD Sharma 解决方案 - 第 21 章有界区域”是本教材中较为复杂的一章，需要深入理解和大量练习才能掌握。

本文将介绍该章练习21.2的解答方法，希望对正在学习该教材的程序员有所帮助。

练习 21.2

假设 $f(z)$ 在有界区域 $D$ 内是全纯的，若 $|f(z)| \ne 1$，则证明 $f(z)$ 是常数。

解答

首先，假设存在$z_0\in D$，使得$f(z_0)\neq 0$，则$f(z)$可以表示为$f(z)=e^{g(z)}$，其中$g(z)=\ln|f(z)|+i\arg f(z)$。

由于$|f(z)|\neq 1$，所以$g(z)$在$D$内是全纯的。又由于$D$是有界区域，所以$g(z)$在$D$内是有界的。因此，$g(z)$的最大值和最小值都可以在$D$的边界上取到。

现在考虑当$|f(z)|=1$时的情况。如果$f(z)=1$对所有$z\in D$都成立，那么$f(z)$是常数$1$。如果存在$z_0\in D$使得$f(z)=e^{i\theta}$，其中$\theta\neq 0$，那么$g(z)=i\theta$对所有$z\in D$都成立。这说明$g(z)$在$D$内不是有界的，与我们之前得出的结论相矛盾。

因此，我们得出结论：$f(z)$是常数。

结论

在有界区域$D$内，如果$f(z)$是全纯的，并且$|f(z)|\neq 1$，那么$f(z)$是常数。这个结论也可以使用最大模原理来证明。

本文的解答方法是根据本章的内容进行推导和分析而得出的，希望能够帮助读者更好地理解和掌握有界区域的相关知识。