RD Sharma 解决方案 - 第 22 章微分方程 - 练习 22.10 |设置 1

简介

本文主要向程序员介绍 RD Sharma 解决方案中的微分方程章节的练习 22.10 题解。练习 22.10 题目涉及到一阶微分方程的求解，题目中给出了微分方程的初值条件和一些相关信息，需要根据这些信息求解微分方程的解。

题目描述

练习 22.10 题目如下：

求解微分方程 (1 + x^2) dy/dx = y - x，且 y(0) = 3。 

解题思路

题目中给出了微分方程的初值条件和相关信息，需要我们求解微分方程的解。根据微分方程的一般形式 dy/dx + P(x) y = Q(x)，可以将题目中的微分方程化为标准形式。这样我们就可以通过求解标准形式的微分方程来求解原始微分方程的解。

经过计算，将题目中的微分方程化为标准形式为 dy/dx + (x/(1+x^2)) y = (x/(1+x^2))。求解标准形式的微分方程需要使用常数变易法，根据常数变易法的步骤，可以求出标准形式微分方程的通解。

最后，将通解带入初值条件 y(0) = 3 中，解出常数 C1 的值。这样，我们就得到了原始微分方程的解。

代码实现

以下为标准形式微分方程的求解步骤，返回markdown格式：

### 步骤一
将微分方程化为标准形式：(1 + x^2) dy/dx = y - x
dy/dx + (x/(1+x^2)) y = (x/(1+x^2))

### 步骤二
求解齐次线性微分方程 dy/dx + (x/(1+x^2)) y = 0 的通解
dy/dx + (x/(1+x^2)) y = 0
y = C e^(-1/2 ln(1+x^2))
y = C / (1+x^2)^1/2

### 步骤三
求解非齐次线性微分方程 dy/dx + (x/(1+x^2)) y = (x/(1+x^2)) 的一个特解
猜测特解为 y = A x + B
将猜测的特解带入非齐次线性微分方程得：A = 1，B = 0
故特解为 y = x

### 步骤四
非齐次线性微分方程的通解为 y = C / (1+x^2)^1/2 + x

### 步骤五
将初值条件 y(0) = 3 带入通解中，解得常数 C 的值为 3

### 解答
微分方程的解为 y = (3 / (1+x^2)^1/2) + x

以上为本题的解题思路和代码实现。希望对您有所帮助！