RD Sharma解决方案 - 第12类，第21章 - 有界区域 - 练习21.1 | 设置2

简介

这个解决方案对应于RD Sharma的数学书的第12类，其中可以解决第21章中有关有界区域的练习21.1的第二部分。这个解决方案主要涉及到复杂的数学定理和公式，旨在帮助学生理解并掌握相关的数学知识。

使用方法

这个程序包含有多个部分，每个部分都包含有具体的代码和注释，以便于理解和使用。以下是每个部分的介绍：

第一部分：导入必要的库和模块

这一部分主要是用来导入必要的Python库和模块，以方便之后的数学计算和绘图。具体来说，需要导入numpy、matplotlib、math等库。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math

第二部分：定义区域和边界条件

这一部分主要是定义有界区域和边界条件，并对其进行处理。具体来说，需要定义区域和边界的几何形状、边界条件、初始条件等。

# Define region and boundary geometry
xmin, xmax = 0, 2
ymin, ymax = 0, 1
N = 200
dx = (xmax - xmin) / N
dy = (ymax - ymin) / N
x = np.linspace(xmin + 0.5*dx, xmax - 0.5*dx, N)
y = np.linspace(ymin + 0.5*dy, ymax - 0.5*dy, N)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# Define boundary conditions
def T_w(x, y):
    return 100

def T_e(x, y):
    return 50

def T_s(x, y):
    return 25

def T_n(x, y):
    return 75

# Define initial condition
T0 = np.ones_like(X) * 50

第三部分：计算温度分布

这一部分主要是对温度分布进行计算，并返回结果。具体来说，需要在区域内进行数学模型的求解，并将求解的结果绘制成图形以便于观察。

# Solve heat equation numerically
T = T0.copy()
tol = 1e-4
err = tol + 1
counter = 0
while err > tol:
    T_old = T.copy()
    for i in range(1, N-1):
        for j in range(1, N-1):
            T[i, j] = (T_old[i+1, j] + T_old[i-1, j] + T_old[i, j+1] + T_old[i, j-1]) / 4
    T[:, 0] = T_w(xmin, Y[:, 0])
    T[:, -1] = T_e(xmax, Y[:, -1])
    T[0, :] = T_n(X[0, :], ymin)
    T[-1, :] = T_s(X[-1, :], ymax)
    err = np.max(np.abs(T - T_old))
    counter += 1
    if counter % 100 == 0:
        print(f"Iteration {counter}, err = {err:0.6f}")

# Plot temperature distribution
fig, ax = plt.subplots()
cp = ax.contourf(X, Y, T, cmap='coolwarm')
fig.colorbar(cp)
ax.set_title('Temperature distribution')
ax.set_xlabel('X [m]')
ax.set_ylabel('Y [m]')
plt.show()

结论

这个解决方案可以帮助学生理解和掌握有关有界区域的数学概念和知识，并通过具体的数学计算和绘图来展现这些概念和知识。同时，这个解决方案也可以被用作一个模板，以便于学生自己动手解决其他相关的问题和练习。