如果点 (x, y) 等距，X 和 Y 之间的关系是什么？

几何学是数学中形状和结构研究的一个分支。它用点、线、曲线和它们之间的关系来密封。使用标准距离公式确定平面上绘制的各个点之间的关系。通过使用公式，我们确定了操作中涉及的两点之间的距离以及它们之间的关系类型。如果点 XY 等距，给定的文章演示了两点 X 和 Y 之间的关系。

距离公式

距离公式用于计算任意两点之间的距离或点到线之间的距离或两条平行线之间的距离。它还可以用于查找任何平面中存在的两点之间的距离，例如 2D、3D、平行平面等。标准距离公式为

D = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

如果点 (x, y) 等距，X 和 Y 之间的关系是什么？

等距关系被定义为确定一个点到直线或图形中其他两个给定点的距离。该点与两个点的距离相等，可以使用距离公式和两个给定点的坐标来计算。

让我们认为这两个点分别是坐标为 (x1, y1) 和 (x2, y2) 的 X 和 Y。现在，通过使用点 X(x1, y1) 和 Y(x2, y2) 导出 X 和 Y 之间的关系。因此，要显示 X 和 Y 之间的关系是等距的。令 P(x, y) 与点 X(x1, y1) 和 Y(x2, y2) 等距。

所以，XP = YP

两边平方，我们有

=>（XP） ² =（YP） ²

使用距离公式，

=>√(x2 - x1) ² + (y2 - y1) ²

现在，

=>（XP） ² =（YP） ²

=>(x – x1) ² + (y – y1) ² = (x – x2) ² + (y – y2) ²

这就是 X 和 Y 之间的关系。现在让我们借助一个例子来讨论这个问题：

Example:

Let P(x, y) be equidistant from the points A(7, 1) and B(3, 5).

So, AP = BP

Squaring on both sides, we get

⇒(AP)² = (BP)²

Using, distance formula,  

Distance between (x1, y1) and (x2,​ y2​) = (x2 − x1)² + (y2 − y1)²…..(1)

Now,

 =>(AP)² = (BP)²

 =>(x − 7)² + (y −1)² = (x − 3)² + (y − 5)²

 =>x² + 49 −14x + y² + 1 − 2y = x² + 9 − 6x + y² + 25 − 10y

=>−14x + 50 − 2y = −6x + 34 − 10y

 =>−7x + 25 − y = −3x + 17 − 5y

=>−4x + 8 + 4y = 0

=>4x − 4y = 8

=>4(x − y) = 8

=>x − y = 2

Hence, this is the required relation between x and y. 

示例问题

问题 1. 如果点 (0, 2) 与 (3, k) 和 (k, 5) 等距，则求 'k' 的值。

解决方案：

Let the two points be A and B with coordinates (3, k) and (k, 5). And, P(0, 2) is equidistant.

Now,

For AP,

P(x, y) = P(0, 2)

 A(x1, y1) = A(3, k)

For BP,

P(x, y) = P(0, 2)

B(x1, y1) = B(k, 5)

=>(AP)² = (BP)²

=>(0 – 3)² + (2 – k)² = (0 – k)² + (2 – 5)²

=>9 + 4 – 4k + k² = k² + 9

=>13 – 4k = 9

=>-4k = 9-13

=>-4k = -4

=>k = 1

问题 2. 如果 P(x, y) 等距，则求点 A(3, 6) 和 B(-3, 4) 的关系。

解决方案：

Let the two points be A and B with coordinates (3, 6) and (-3, 4). And, P(x, y) is equidistant.

Now,

For AP,

P(x1, y1) = P(x, y)

A(x2, y2) = A(3, 6)

For BP,

P(x1, y1) = P(x, y)

B(x2, y2) = B(-3, 4)

=>(AP)² = (BP)²

=>(x – 3)² + (y – 6)² = (x + 3)² + (y – 4)²

=>(x – 3)² + (x + 3)² = (y – 6)² + (y – 4)²

=>(x -3 + x + 3)(x – 3 – x – 3) = (y – 6 – y – 4)(y – 6 – y + 4)

=>(2x)(-6) = (2y – 10)(2)

=>-12x = 4y – 20

=>-12x – 4y + 20 = 0

=>3x + y – 5 = 0

问题 3. 求 Y 轴上与点 (2, -5) 和 (-2, 9) 等距的点。

解决方案：

Let the two points be A and B with coordinates (2,-5) and (-2, 9). And, P(0, y) is equidistant.

Now,

For AP,

P(x1, y1) = P(0, y)

A(x2, y2) = A(2, -5)

For BP,

P(x1, y1) = P(0, y)

B(x2, y2) = B(-2, 9)

=>(AP)² = (BP)²

=>(2 – 0)² + (2 – y)² = (-2 – 0)² + (9 – y)²

=>(2)² + (2 – y)² = (-2)² + (9 – y)²

=>4 + 4 – 4y + y² = 4 + 81 – 18y + y²

=>8 – 4y = 85 – 18y

=>14y = 77

=>y = 77/14

=>y = 11/2