矩阵公式的逆

矩阵是整数的矩形数组，分为行和列。它是一组按定义的行数和列数组织的整数。矩阵中的行数和列数称为其维度或顺序。下面的整数数组说明了一个矩阵。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 8 & 4 & 5 \\ 2 & 6 & 7 \\ 12 & 6 & 3 \end{bmatrix}$

按照惯例，首先列出行，然后是列。因此，前面矩阵的大小（或顺序）为 4 x 3，表示它包含 4 行和 3 列。矩阵的元素是出现在矩阵的行和列中的数字。上述矩阵中第一行第一列的元素为1；第一行第二列的元素是2；等等。

矩阵的逆

矩阵的逆矩阵是另一个矩阵，当它与给定矩阵相乘时，会产生乘法恒等式。对于矩阵 A 及其逆矩阵 A ^-1 ，恒等属性成立。

A.A^-1 = A^-1A = I, where I is the identity matrix.

基本术语

下面列出的术语可以帮助您更清楚、更轻松地掌握矩阵的逆。

• 次要：为每个矩阵元素定义次要。删除包含该元素的行和列后产生的行列式是该元素的次要元素。对于矩阵$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \\ 2 & 6 & 7 \\ \end{bmatrix}$ ，第一个元素 1 的小调是， $a_{11}=\begin{bmatrix}5&6\\6&7 \end{bmatrix}$ .
• 辅因子：元素的辅因子是通过将次要与 -1 乘以元素的顺序表示中的行和列元素之和的指数来计算的。

Cofactor of a_ij = (-1)^i+j M_ij, where M_ij is the minor of that element

• 行列式：矩阵的行列式等于矩阵的特定行或列的元素及其辅因子的乘积之和。
• 矩阵的伴随：矩阵的伴随是矩阵的辅因子矩阵的转置。

矩阵公式的逆

矩阵 A 的逆矩阵，即 A ^-1是使用矩阵逆公式计算的，该公式涉及将矩阵的伴随除以其行列式。

$A^{-1}=\frac{\text{Adj A}}{|A|}$

where,

adj A = adjoint of the matrix A

|A| = determinant of the matrix A

矩阵 A 的逆矩阵可以通过以下步骤计算：

步骤 1：确定所有 A 元素的小调。

步骤 2：接下来，计算所有元素的辅因子，并通过将 A 的元素替换为它们各自的辅因子来构建辅因子矩阵。

第 3 步：对 A 的辅因子矩阵进行转置以找到它的伴随矩阵（写为 adj A）。

第 4 步：将 adj A 乘以行列式的倒数。

示例：求矩阵的逆矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc}4 & 3 & 8\\6 & 2 & 5\\1 & 5 & 9\end{array}\right]$使用公式。

We have, $A=\left[\begin{array}{ccc}4 & 3 & 8\\6 & 2 & 5\\1 & 5 & 9\end{array}\right]$

Find the adjoint of matrix A by computing the cofactors of each element and then getting the cofactor matrix’s transpose.

adj A = $\left[\begin{array}{ccc}-7 & -49 & 28\\13 & 28 & -17\\-1 & 28 & -10\end{array}\right]$

Find the value of determinant of the matrix.

|A| = 4(18–25) – 3(54–5) + 8(30–2)

= 49

So, the inverse of the matrix is,

A^–1 = $\frac{1}{49}\left[\begin{array}{ccc}-7 & -49 & 28\\13 & 28 & -17\\-1 & 28 & -10\end{array}\right]$

= $\left[\begin{array}{ccc}- \frac{1}{7} & \frac{13}{49} & - \frac{1}{49}\\-1 & \frac{4}{7} & \frac{4}{7}\\\frac{4}{7} & - \frac{17}{49} & - \frac{10}{49}\end{array}\right]$

示例问题

问题1.求矩阵的逆$A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & 1\\1 & 1 & 2\\2 & 3 & 4\end{array}\right]$使用公式。

解决方案：

We have,

$A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & 1\\1 & 1 & 2\\2 & 3 & 4\end{array}\right]$

Find the adjoint of matrix A by computing the cofactors of each element and then getting the cofactor matrix’s transpose.

adj A = $\left[\begin{array}{ccc}-2 & -9 & 5\\0 & 6 & -3\\1 & 0 & -1\end{array}\right]$

Find the value of determinant of the matrix.

|A| = 2(4–6) – 3(4–4) + 1(3–2)

= –3

So, the inverse of the matrix is,

A^–1 = $\frac{1}{-3}\left[\begin{array}{ccc}-2 & -9 & 5\\0 & 6 & -3\\1 & 0 & -1\end{array}\right]$

= $\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3} & 3 & - \frac{5}{3}\\0 & -2 & 1\\- \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3}\end{array}\right]$

问题 2. 求矩阵 A= 的逆矩阵$\left[\begin{array}{ccc}6 & 2 & 3\\0 & 0 & 4\\2 & 0 & 0\end{array}\right]$使用公式。

解决方案：

We have,

A=$\left[\begin{array}{ccc}6 & 2 & 3\\0 & 0 & 4\\2 & 0 & 0\end{array}\right]$

Find the adjoint of matrix A by computing the cofactors of each element and then getting the cofactor matrix’s transpose.

adj A = $\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 8\\8 & -6 & -24\\0 & 4 & 0\end{array}\right]$

Find the value of determinant of the matrix.

|A| = 6(0–4) – 2(0–8) + 3(0–0)

= 16

So, the inverse of the matrix is,

A^–1 = $\frac{1}{16}\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 8\\8 & -6 & -24\\0 & 4 & 0\end{array}\right]$

= $\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{8} & - \frac{3}{2}\\0 & \frac{1}{4} & 0\end{array}\right]$

问题 3. 求矩阵 A= 的逆$\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\0 & 1 & 4\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$使用公式。

解决方案：

We have,

A=$\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\0 & 1 & 4\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$

Find the adjoint of matrix A by computing the cofactors of each element and then getting the cofactor matrix’s transpose.

adj A = $\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 5\\0 & 1 & -4\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$

Find the value of determinant of the matrix.

|A| = 1(1–0) – 2(0–0) + 3(0–0)

= 1

So, the inverse of the matrix is,

A^–1 = $\frac{1}{1}\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 5\\0 & 1 & -4\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$

= $\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 5\\0 & 1 & -4\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$

问题 4. 求矩阵 A= 的逆$\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\2 & 1 & 4\\3 & 4 & 1\end{array}\right]$使用公式。

解决方案：

We have,

A=$\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\2 & 1 & 4\\3 & 4 & 1\end{array}\right]$

Find the adjoint of matrix A by computing the cofactors of each element and then getting the cofactor matrix’s transpose.

adj A = $\left[\begin{array}{ccc}-15 & 10 & 5\\10 & -8 & 2\\5 & 2 & -3\end{array}\right]$

Find the value of determinant of the matrix.

|A| = 1(1–16) – 2(2–12) + 3(8–3)

= 20

So, the inverse of the matrix is,

A^–1 = $\frac{1}{20}\left[\begin{array}{ccc}-15 & 10 & 5\\10 & -8 & 2\\5 & 2 & -3\end{array}\right]$

= $\left[\begin{array}{ccc}- \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\\frac{1}{2} & - \frac{2}{5} & \frac{1}{10}\\\frac{1}{4} & \frac{1}{10} & - \frac{3}{20}\end{array}\right]$

问题 5. 求矩阵 A= 的逆矩阵$\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & 4\\1 & 2 & 3\\1 & 1 & 0\end{array}\right]$使用公式。

解决方案：

We have,

A=$\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & 4\\1 & 2 & 3\\1 & 1 & 0\end{array}\right]$

Find the adjoint of matrix A by computing the cofactors of each element and then getting the cofactor matrix’s transpose.

adj A =$\left[\begin{array}{ccc}-3 & 4 & 1\\3 & -4 & -2\\-1 & 1 & 1\end{array}\right]$

Find the value of determinant of the matrix.

|A| = 2(0–3) – 3(0–3) + 4(1–2)

= –1

So, the inverse of the matrix is,

A^–1 = $\frac{1}{-1}\left[\begin{array}{ccc}-3 & 4 & 1\\3 & -4 & -2\\-1 & 1 & 1\end{array}\right]$

= $\left[\begin{array}{ccc}3 & -4 & -1\\-3 & 4 & 2\\1 & -1 & -1\end{array}\right]$

问题 6. 求矩阵 A= 的逆$\left[\begin{array}{ccc}3 & 5 & 7\\5 & 7 & 9\\8 & 9 & 9\end{array}\right]$使用公式。

解决方案：

We have,

A=$\left[\begin{array}{ccc}3 & 5 & 7\\5 & 7 & 9\\8 & 9 & 9\end{array}\right]$

Find the adjoint of matrix A by computing the cofactors of each element and then getting the cofactor matrix’s transpose.

adj A = $\left[\begin{array}{ccc}-18 & 18 & -4\\27 & -29 & 8\\-11 & 13 & -4\end{array}\right]$

Find the value of determinant of the matrix.

|A| = 3(63–81) – 5(45–72) + 7(45–56)

= 4

So, the inverse of the matrix is,

A^–1 = $\frac{1}{4}\left[\begin{array}{ccc}-18 & 18 & -4\\27 & -29 & 8\\-11 & 13 & -4\end{array}\right]$

= $\left[\begin{array}{ccc}- \frac{9}{2} & \frac{9}{2} & -1\\\frac{27}{4} & - \frac{29}{4} & 2\\- \frac{11}{4} & \frac{13}{4} & -1\end{array}\right]$