通过翻转最多K个数组元素的符号来获得最大子数组总和

简介

在给定一个整数数组和一个整数K的情况下，我们希望通过翻转最多K个数组元素的符号来获得子数组的最大总和。可以将正数转为负数或将负数转为正数。

解决方案

我们可以使用动态规划来解决这个问题。定义两个动态规划数组dp_max和dp_min，分别表示以当前元素结尾的子数组的最大总和和最小总和。其中dp_max[i]表示以第i个元素结尾的子数组的最大总和，dp_min[i]表示以第i个元素结尾的子数组的最小总和。

初始化

将数组中的第一个元素同时赋值给dp_max和dp_min：dp_max[0] = dp_min[0] = nums[0]。

状态转移

对于第i个元素，有两种情况：

1. 第i个元素的符号不改变，即nums[i] >= 0，则dp_max[i] = max(dp_max[i-1] + nums[i], nums[i])，dp_min[i] = min(dp_min[i-1] + nums[i], nums[i])；
2. 第i个元素的符号改变，即nums[i] < 0，则dp_max[i] = max(dp_min[i-1] - nums[i], nums[i])，dp_min[i] = min(dp_max[i-1] - nums[i], nums[i])。

根据状态转移方程，我们可以遍历整个数组，计算出dp_max和dp_min的值。

结果

遍历完整个数组后，子数组的最大总和即为max(dp_max)，返回该值作为结果。

代码实现

def max_subarray_sum(nums, k):
    # 初始化动态规划数组
    dp_max = [0] * len(nums)
    dp_min = [0] * len(nums)
    dp_max[0] = dp_min[0] = nums[0]
    
    # 状态转移
    for i in range(1, len(nums)):
        if nums[i] >= 0:
            dp_max[i] = max(dp_max[i-1] + nums[i], nums[i])
            dp_min[i] = min(dp_min[i-1] + nums[i], nums[i])
        else:
            dp_max[i] = max(dp_min[i-1] - nums[i], nums[i])
            dp_min[i] = min(dp_max[i-1] - nums[i], nums[i])
    
    # 返回最大子数组总和
    return max(dp_max)

复杂度分析

• 时间复杂度：遍历一次数组，时间复杂度为O(n)，其中n为数组长度。
• 空间复杂度：创建了两个长度为n的动态规划数组，空间复杂度为O(n)。

总结

通过动态规划的思想，我们可以解决通过翻转最多K个数组元素的符号来获得最大子数组总和的问题。通过定义两个动态规划数组，我们可以计算出以每个元素结尾的子数组的最大总和和最小总和。最后我们可以返回最大子数组总和作为结果。该算法的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)。