深度优先搜索 (DFS) 的 10 大面试问题

深度优先搜索（Depth First Search，简称DFS）是一种用于遍历或搜索树或图的算法。DFS 算法会从起点开始，遍历整个图，直到找到所需的节点或遍历完整个图。

在面试中，DFS 是一个经常被问到的话题。本文将介绍深度优先搜索的 10 大面试问题，并提供相应的解答。

1. 什么是深度优先搜索？

深度优先搜索是一种常见的遍历或搜索树或图的算法。该算法会从起点开始，依次遍历相邻的节点，直到找到所需节点或遍历完整个图。

DFS 算法有两种实现方式：递归实现和非递归实现。递归实现是最常用的实现方式，非递归实现则需要借助栈来实现。

2. 如何实现深度优先搜索？

DFS 算法通常使用递归实现。以下代码是递归实现 DFS 的示例：

def dfs(node, visited):
    if not node:
        return
    visited.add(node)
    for neighbor in node.neighbors:
        if neighbor not in visited:
            dfs(neighbor, visited)

上述代码中，dfs 函数接收一个节点和一个访问过的节点集合。首先，将当前节点标记为已访问，接着遍历所有相邻节点，如果某个相邻节点尚未被访问，则递归访问该节点。最后，遍历完所有相邻节点后，返回上一级调用。

3. 什么是回溯？

回溯是指在深度优先搜索过程中，当搜索到死胡同时，需要返回上一级节点并且继续遍历其他节点，这一过程就称为回溯。

在实现DFS时，当搜索到死胡同时，需要返回上一级节点并继续搜索其他节点。通常，可以通过递归和栈两种方式来实现回溯。

以下是递归实现回溯的示例代码：

def dfs(node, target, visited, path, res):
    if not node:
        return
    visited.add(node)
    path.append(node)
    if node == target:
        res.append(list(path))
    for neighbor in node.neighbors:
        if neighbor not in visited:
            dfs(neighbor, target, visited, path, res)
    path.pop()
    visited.remove(node)

上述代码中，每次搜索完所有相邻节点并返回上一级节点时，需要将已访问的节点标记为未访问，并将该节点从路径中删除，以便继续遍历其他节点。

4. 在DFS中如何判断两个节点是否相连？

在 DFS 中，如果两个节点之间存在一条路径，则这两个节点相连。

以下代码是用 DFS 判断两个节点是否相连的示例：

def is_connected(node1, node2):
    visited = set()
    dfs(node1, visited)
    return node2 in visited

上述代码中，is_connected 函数接收两个节点 node1 和 node2，通过 DFS 遍历 node1 所在的连通块，并使用集合 visited 记录已访问的节点。最终，判断节点 node2 是否在已访问的节点集合中即可。

5. 如何找到从起点到终点的所有路径？

在 DFS 算法中，可以通过记录遍历路径的方式找到从起点到终点的所有路径。

以下是寻找从起点到终点的所有路径的示例代码：

def find_all_paths(start, end, path, res):
    if start == end:
        res.append(list(path))
        return
    path.append(start)
    for node in start.neighbors:
        if node not in path:
            find_all_paths(node, end, path, res)
    path.pop()

上述代码中，find_all_paths 函数接收一个起点和一个终点，并使用 DFS 遍历所有可能的路径。在搜索到终点时，将已访问的路径存储在结果集 res 中。

6. 如何找到从起点到终点的最短路径？

要寻找从起点到终点的最短路径，可以使用 BFS（广度优先搜索）算法。BFS 算法会按层遍历图，因此找到的第一个路径就是最短路径。

以下是寻找从起点到终点的最短路径的示例代码：

def find_shortest_path(start, end):
    queue = collections.deque([(start, [start])])
    visited = set()
    while queue:
        node, path = queue.popleft()
        if node == end:
            return path
        visited.add(node)
        for neighbor in node.neighbors:
            if neighbor not in visited:
                queue.append((neighbor, path + [neighbor]))
    return None

上述代码中，find_shortest_path 函数使用 BFS 算法遍历图，直到找到终点。在每个节点上，将遍历路径存储在队列中，并用集合 visited 记录已访问的节点。

7. 如何检查有向图中是否存在环？

有向图中是否存在环可以使用拓扑排序算法来判断。在拓扑排序时，如果存在环，则拓扑排序无法完成。

以下是使用 DFS 实现拓扑排序的示例代码：

def topo_sort(node, visited, stack):
    visited.add(node)
    for neighbor in node.neighbors:
        if neighbor not in visited:
            topo_sort(neighbor, visited, stack)
    stack.append(node)

def has_cycle_dfs(nodes):
    visited = set()
    stack = []
    for node in nodes:
        if node not in visited:
            topo_sort(node, visited, stack)
    return len(stack) != len(nodes)

上述代码中，topo_sort 函数使用 DFS 遍历所有节点，并将访问过的节点存储在逆拓扑排序栈中。最后，如果拓扑排序栈和节点集合的长度不同，则说明存在环。

8. 如何找到一张图的强连通分量？

强连通分量是指有向图中的一组节点，它们相互可达且不与其他节点可达。可以使用 Kosaraju 算法来寻找一张图的强连通分量。

以下是使用 DFS 实现 Kosaraju 算法的示例代码：

def kosaraju(nodes):
    # 第一轮 DFS，得到逆拓扑排序栈
    visited = set()
    stack = []
    for node in nodes:
        if node not in visited:
            dfs(node, visited, stack)
    # 第二轮 DFS，得到强连通分量
    visited.clear()
    result = []
    while stack:
        node = stack.pop()
        if node not in visited:
            comp = set()
            dfs_reverse(node, visited, comp)
            result.append(comp)
    return result

def dfs(node, visited, stack):
    visited.add(node)
    for neighbor in node.neighbors:
        if neighbor not in visited:
            dfs(neighbor, visited, stack)
    stack.append(node)

def dfs_reverse(node, visited, comp):
    visited.add(node)
    comp.add(node)
    for neighbor in node.reverse_neighbors:
        if neighbor not in visited:
            dfs_reverse(neighbor, visited, comp)

上述代码中，kosaraju 函数使用 DFS 进行两次遍历。第一次遍历得到图的逆拓扑排序栈，第二次遍历得到强连通分量。

9. 如何找到无向图中的割点？

割点是指从图中移除后，会导致图不连通的节点。可以使用 DFS 来寻找无向图中的割点。

以下是寻找无向图中割点的示例代码：

def find_cut_points(node, visited, pre, low, time, res):
    visited.add(node)
    children = 0
    is_cut_point = False
    pre[node] = low[node] = time[0]
    time[0] += 1
    for neighbor in node.neighbors:
        if neighbor not in visited:
            children += 1
            find_cut_points(neighbor, visited, pre, low, time, res)
            low[node] = min(low[node], low[neighbor])
            if pre[node] <= low[neighbor]:
                is_cut_point = True
        elif neighbor != pre[node]:
            low[node] = min(low[node], pre[neighbor])
    if (pre[node] == 0 and children > 1) or (pre[node] != 0 and is_cut_point):
        res.append(node)

def find_cut_points_in_undirected_graph(nodes):
    visited = set()
    pre = {}
    low = {}
    time = [0]
    res = []
    for node in nodes:
        if node not in visited:
            find_cut_points(node, visited, pre, low, time, res)
    return res

上述代码中，find_cut_points 函数使用 DFS 遍历每个节点，并计算每个节点的 pre 和 low 值。如果某个节点的 low 值大于等于其相邻节点的 pre 值，则该节点是割点。

10. 如何找到二叉树的最大深度？

二叉树的最大深度是指从根节点到最远叶子节点的最长路径。可以使用 DFS 算法来寻找二叉树的最大深度。

以下是查找二叉树最大深度的示例代码：

def max_depth(node):
    if not node:
        return 0
    return max(max_depth(node.left), max_depth(node.right)) + 1

上述代码中，max_depth 函数使用递归的方式遍历二叉树，并计算左右子树的深度，最后返回左右子树深度的较大值加1。