字梯 - 设置 2（双向 BFS）

简介

字梯（Word Ladder）是一个单词接龙游戏，从一个单词转化为另一个单词，每次转化只能改变一个字母，且每次转化得到的中间单词都必须为英文单词。

在这个问题中，我们需要找到从起始单词到目标单词路径最短的单词接龙序列。本题的目的是使用双向 BFS 算法优化单向 BFS。

双向 BFS

双向 BFS 算法是指从起点和终点同时开始搜索，分别向中间前进，直到两个搜索集合相遇。相遇的位置即为最短路径。

相比于单向 BFS 算法，双向 BFS 可以减少搜索的时间和空间复杂度，尤其是在目标状态不清楚或是搜索空间较大的情况下。

以下是双向 BFS 算法的基本流程：

1. 定义起点集合 begin_set 和终点集合 end_set，起点集合中只包含起始单词，终点集合中只包含目标单词。

2. 定义两个标记 begin_visited 和 end_visited，表示起点集合和终点集合中的单词是否已被访问过。

3. 定义一个 set 类型的 word_set，表示单词词典，从中查找字典中是否存在每个中间单词。

4. 定义一个变量 step，表示起点和终点相遇时所需的最少步数，初值为 0。

5. 循环搜索，当起点集合不为空时：

   1. 判断 begin_set 和 end_set 中元素个数，选择小的那个集合开始搜索。
   2. 遍历当前集合中的所有单词 word，对于当前单词中的每个字符，将其分别替换成 26 个字母中的一个，生成一个新单词 new_word。
   3. 判断 new_word 是否在 word_set 中，并且没有被访问过。如果是，则将其加入队列，并将其标记为已访问。
   4. 判断 end_set 中是否出现了已访问过的单词。出现则结束搜索。否则，将 begin_set 替换为新的搜索结果，step 加 1。

6. 返回 step。

代码实现

以下是双向 BFS 算法的 Python 代码实现：

def ladderLength(beginWord: str, endWord: str, wordList: List[str]) -> int:
    if endWord not in wordList:
        return 0

    begin_set, end_set = {beginWord}, {endWord}
    begin_visited, end_visited = {beginWord}, {endWord}
    word_set = set(wordList)
    step = 0

    while begin_set:
        if len(begin_set) > len(end_set):
            begin_set, end_set = end_set, begin_set
            begin_visited, end_visited = end_visited, begin_visited

        next_set = set()
        for word in begin_set:
            for i in range(len(word)):
                for c in 'abcdefghijklmnopqrstuvwxyz':
                    new_word = word[:i] + c + word[i + 1:]
                    if new_word in word_set:
                        if new_word in end_visited:
                            return step + 2
                        if new_word not in begin_visited:
                            next_set.add(new_word)
                            begin_visited.add(new_word)

        begin_set = next_set
        step += 1

    return 0

总结

双向 BFS 可以大大地提高搜索效率，尤其是在搜索空间较大的问题中。在字梯问题中，用双向 BFS 搜索的时间复杂度是单向 BFS 的一半，因为两个搜索集合相当于将搜索空间分别缩小了一半。同时，双向 BFS 在搜索过程中需要一定的额外空间开销，但是相比于单向 BFS 而言，这个额外开销是很小的。

需要注意的是，在字梯问题中，每次只能改变一个字符，因此可以将每个单词看作一个节点，将可以到达的单词看作一个节点的邻居。这样，问题就被转化为了一张无向图的最短路径问题。