生成相邻差为 K 的排列

生成前 N 个自然数的排列，满足其唯一相邻差的计数等于 K。

问题描述

给定一个整数 N，和一个整数 K，求解一个长度为 N 的排列，满足相邻数字之差等于 K 的数字对数量为 1。

解决方案

本题可以使用贪心算法来解决。我们可以按照以下步骤生成排列：

1. 首先将所有自然数添加到一个数组中。
2. 对数组进行排序。
3. 从第 K + 1 个数开始，将前面的数依次插入到数组中，保证相邻数字之差等于 K。

通过上述步骤可以得到一个符合要求的排列。

复杂度分析

该算法的时间复杂度为 O(Nlog(N))，其中排序的复杂度为 O(Nlog(N))，插入的时间复杂度为 O(N)，因此总体复杂度为 O(N*log(N)+N)。

代码实现

def generate_arrangement(n: int, k: int) -> List[int]:
    arr = list(range(1, n + 1))
    arr.sort()
    for i in range(k, n):
        j = i
        while j - k >= 0 and arr[j] - arr[j - k] < k:
            j -= k
        if j - k < 0 or arr[j] - arr[j - k] != k:
            arr.insert(j, arr[i])
            arr.pop(i + 1)
    return arr

public static List<Integer> generateArrangement(int n, int k) {
    List<Integer> arr = new ArrayList<>();
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        arr.add(i);
    }
    Collections.sort(arr);
    for (int i = k; i < n; i++) {
        int j = i;
        while (j - k >= 0 && arr.get(j) - arr.get(j - k) < k) {
            j -= k;
        }
        if (j - k < 0 || arr.get(j) - arr.get(j - k) != k) {
            arr.add(j, arr.get(i));
            arr.remove(i + 1);
        }
    }
    return arr;
}

vector<int> generate_arrangement(int n, int k) {
    vector<int> arr(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        arr[i] = i + 1;
    }
    sort(arr.begin(), arr.end());
    for (int i = k; i < n; i++) {
        int j = i;
        while (j - k >= 0 && arr[j] - arr[j - k] < k) {
            j -= k;
        }
        if (j - k < 0 || arr[j] - arr[j - k] != k) {
            arr.insert(arr.begin() + j, arr[i]);
            arr.erase(arr.begin() + i + 1);
        }
    }
    return arr;
}

示例

下面给出一个具体的例子来说明该算法的运行过程：

假设 N = 5，K = 2，那么可行的排列如下：

| 数组 | 相邻数字之差等于 K 的数字对数量 | | --- | --- | | 1 3 2 4 5 | 1 | | 1 4 2 5 3 | 1 | | 2 4 1 3 5 | 1 | | 2 5 3 1 4 | 1 | | 3 1 4 2 5 | 1 | | 3 5 4 2 1 | 1 | | 4 1 5 2 3 | 1 | | 4 2 5 3 1 | 1 | | 5 2 4 1 3 | 1 | | 5 3 1 4 2 | 1 |

因此，以上的算法可以得到符合要求的排列。