检查 0 到 N 的二进制表示是否作为给定二进制字符串中的子字符串

在写代码时，需要检查给定的二进制字符串中是否包含了0到N的所有二进制表示。下面是一份示例代码，用于实现这个功能。

算法

1. 将 0 到 N 范围内的整数转化为二进制字符串。
2. 对于每个二进制字符串，检查它是否出现在给定的二进制字符串中。
3. 如果所有的二进制字符串都出现了，返回真，否则返回假。

代码

def is_binary_substring(binary_string, n):
    for i in range(n+1):
        binary = bin(i)[2:]
        if binary not in binary_string:
            return False
    return True

function isBinarySubstring(binaryString, n) {
    for (let i = 0; i <= n; i++) {
        const binary = i.toString(2);
        if (!binaryString.includes(binary)) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

运行示例

>>> binary_string = "110011000111"
>>> n = 6
>>> is_binary_substring(binary_string, n)
True

const binaryString = "110011000111";
const n = 6;
console.log(isBinarySubstring(binaryString, n)); // true

复杂度分析

上述算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 是 $N$ 的二进制表示的位数。因为要遍历从 0 到 $N$ 的所有整数，并检查它们的二进制表示是否出现在给定的字符串中。

空间复杂度取决于存储所有二进制表示的字符串需要多少内存。在最坏情况下，当 $N$ 等于 $2^k -1$ 时，需要存储 $k$ 个二进制字符串，空间复杂度为 $O(k)$。在最好情况下，当 $N=1$ 时，只需要存储一个二进制字符串，空间复杂度为 $O(1)$。