弹性碰撞公式

简而言之，当移动物体与在其路径上的静止物体发生碰撞时，就会发生碰撞。当两个移动物体发生碰撞并造成冲击时，也使用此短语。如果你想知道什么是弹性碰撞，你需要知道的不仅仅是碰撞和冲击。当一个运动物体与一个静止物体或两个运动物体碰撞时，就会发生弹性碰撞，而总动能和动量不变。

什么是弹性碰撞？

当两个物体接触而不损失任何整体动能时，就会发生完全弹性碰撞。

An elastic collision is one in which the system loses no kinetic energy as a result of the collision. In an elastic collision, momentum and kinetic energy are both conserved.

在发生碰撞的情况下，碰撞前后的动能基本不变，不会转移到任何其他类型的能量中。

弹性碰撞的动能在接触前后保持不变。它不会变成另一种能量。它本质上可能是一维或二维的。在现实世界中，完全弹性碰撞是不可能的，因为总会有一些能量交换，无论多么小。相关分量的个体动量发生变化，大小相等，大小相反，相互抵消，原始能量守恒，尽管整个系统的线性动量没有变化。

弹性碰撞的例子

• 球被扔到地板上时会反弹回来。这是因为移动的球保持其整体动量和动能。
• 当两个原子碰撞时，它们会产生弹性碰撞，但是，只有在没有能量损失的情况下才称为弹性碰撞。
• 打台球或斯诺克时用棍子击球是弹性碰撞的简单例证。

弹性碰撞公式

The momentum formula for Elastic Collision is:

m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂

where,

• m₁ = Mass of 1^st body
• m₂ = Mass of 2^nd body
• u₁ = Initial Velocity of 1^st body
• u₂ = Initial Velocity of 2^nd body
• v₁ = Final Velocity of 1^st body
• v₂ = Final Velocity of 2^nd body

The kinetic energy formula for elastic collisions is:

1/2(m₁u₁²) + 1/2(m₂u₂²) = 1/2(m₁v₁²) + 1/2(m₂v₂²)

弹性碰撞的推导

The momentum formula for Elastic Collision is:

m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂

∴ m(u₁-v₁) = m(v₂-u₂)  ⇢ (Equation A)

The kinetic energy formula for elastic collisions is:

1/2(m₁u₁²) + 1/2(m₂u₂²) = 1/2(m₁v₁²) + 1/2(m₂v₂²)

∴ m₁(u₁²-v₁²) = m₂(v₂²-u₂²)

∴ m₁(u₁+v₁)(u₁-v₁) = m₂(v₂+u₂)(v₂-u₂)  ⇢ (Equation B)

Divide Equation B to Equation A,

u₁ + v₁ = v₂ + u₂

∴ u₁ – u₂ = -(v₁ – v₂)

Relative velocity of approach = Relative velocity of receding

The momentum formula for Elastic Collision is:

m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂

We have,

u₁ + v₁ = v₂ + u₂

∴ v₂ = u₁ + v₁ – u₂

Put v₂ in the momentum formula for Elastic Collision,

∴ m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂(u₁ + v₁ – u₂)

∴ m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂u₁ + m₂v₁ – m₂u₂

∴ m₁u₁ – m₂u₁ +2m₂u₂ = v₁(m₁ + m₂)

∴ v₁ = ((m₁ – m₂)u₁ + 2m₂u₂) / (m₁ + m₂)

∴ v₂ = ((m₂ – m₁)u₂ + 2m₁u₁) / (m₁ + m₂)

弹性碰撞的应用

以下是弹性碰撞的一些应用：

• 碰撞过程中身体所受力的大小受碰撞时间的影响。换句话说，作用在身体上的力越小，冲击所需的时间就越长。因此，为了优化力，必须减少碰撞持续时间。
• 然而，为了减小力，必须增加接触持续时间。这方面的例子不胜枚举。其中之一是汽车中的安全气囊减少了碰撞所花费的时间，并减少了施加在物品上的力。这个过程背后的现象是安全气囊减少了力量，同时增加了物体的碰撞时间。
• 尽管弹性碰撞可能发生在各种位置或环境中，但非弹性碰撞更为常见。

示例问题

问题一：弹性碰撞公式中提到的终速度和初速度是什么意思？

回答：

The initial velocity of an object is the velocity it has before colliding with another item, whereas the final velocity is the velocity it has after colliding with another object.

问题 2：一个 5 kg 的球以 6 m/s 的速度向东移动，撞击一个静止的 2 kg 球。假设完全弹性碰撞，计算两个球的速度。

回答：

Given : m₁ = 5 kg, u₁ = 6 m/s, m₂ = 2 kg, u₂ = 0

Find : v₁, v₂

Solution :

We have,

m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂

∴ (5 × 6) + (2 × 0) = 5v₁ + 2v₂

∴ 30 + 0 = 5v₁ + 2v₂

∴ 30 = 5v₁ + 2v₂  ⇢ (Equation 1)

u₁ + v₁ = u₂ + v₂

∴ 6 + v₁ = 0 + v₂

∴ 6 = -v₁ + v₂  ⇢ (Equation 2)

From Equation 1 and 2,

∴ v₂ = 8.57 m/s

Put v₂ = 8.57 in Equation 2,

-v₁ + 8.57 = 6

∴ v₁ = 2.57 m/s

问题3：当一个质量为4公斤的物体与另一个静止的物体相撞时，它继续以原速度三分之一的速度向同一方向运动。确定第二个物体的质量。

回答：

Given : m₁ = 4 kg, v₁ = u₁/3, u₂ = 0

Find : m₂

Solution :

We have,

v₁ = ((m₁ – m₂) / (m₁ + m₂)) × u₁ + (2m₂u₂) / (m₁ + m₂)

∴ u₁/3 = ((4 – m₂) / (4 + m₂)) × u₁

∴ 4 + m₂ = 12 – 3m₂

∴ 4m₂ = 12 – 4

∴ m₂ = 2 kg

问题 4：一个 1 kg 的球以 15 m/s 的速度运动，与另一个静止时质量未知的球正面碰撞，以 10 m/s 的速度反弹。另一个球的质量是多少？

回答：

Given : m₁ = 1 kg, u₁ = 15 m/s, v₁ = -10 m/s (rebounds), u₂ = 0

Find : m₂

Solution :

We have,

v₁ = ((m₁ – m₂) / (m₁ + m₂)) × u₁ + (2m₂u₂) / (m₁ + m₂)

∴ -10 = ((1 – m₂) / (1 + m₂)) × 15

∴ -2 + (-2m₂) = 3 – 3m₂

∴ m₂ = 5 kg

问题5：假设m ₁为3 kg，m ₂为5 kg，u ₂处于静止状态，v ₁为2.2 m/s，具体示例中v ₂为2 m/s。 u ₁的值是多少？

回答：

Given : m₁ = 3 kg, m₂ = 5 kg, u₂ = 0, v₁ = 2.2 m/s, v₂ = 2 m/s

Find : u₁

Solution :

We have,

m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂

∴ 3 × u₁ + 5 × 0 = 3 × 2.2 + 5 × 2

∴ 3u₁ = 6.6 + 10

∴ u₁ = 5.53 m/s

问题6：如果u ₁是4 m/s，u ₂是2 m/s，v ₂是6 m/s，可以使用下面的公式。 v ₁的意义是什么？

回答：

Given : u₁ = 4 m/s, u₂ = 2 m/s, v₂ = 6 m/s

Find : v₁

Solution :

u₁ + v₁ = v₂ + u₂

∴ 4 + v₁ = 6 + 2

∴ v₁ = 8 – 4

∴ v₁ = 4 m/s