如果用于输入的电路的输出随时间变化，则称为时间响应。时间响应包括以下两个部分。

• 瞬态响应
• 稳态响应

在本章中，首先让我们讨论这两个响应，然后在串联RL电路被直流电压源激励时观察这两个响应。

瞬态响应

向电路施加输入后，输出需要一定时间才能达到稳定状态。因此，输出将处于过渡状态，直到进入稳定状态。因此，在瞬态期间电路的响应被称为瞬态响应。

对于较大的“ t”值，瞬态响应将为零。理想情况下，“ t”的值应为无穷大。但是，实际上五个时间常数就足够了。

有无瞬态

由于施加到电路的电源突然变化和/或由于开关动作，在响应中会出现瞬变。有两种可能的切换动作。这些是打开开关和关闭开关。

• 如果仅包含电阻，则瞬态部分将不会出现在电路或网络的响应中。因为电阻器能够调节任意数量的电压和电流。

• 由于存在诸如电感器和电容器的储能元件，瞬态部分在电路或网络的响应中发生。因为它们无法立即更改存储在这些元素中的能量。

电感行为

假设开关动作在t = 0发生。当开关动作发生时，电感电流不会瞬间变化。这就是说，刚好在切换动作之后的电感器电流的值将与刚切换动作之前的电感器电流的值相同。

从数学上讲，它可以表示为

$$ i_L(0 ^ +)= i_L(0 ^-)$$

电容行为

当发生开关动作时，电容器电压不会像电感电流那样瞬间变化。这就是说，刚好在切换动作之后的电容器电压的值将与刚切换动作之前的电容器电压的值相同。

从数学上讲，它可以表示为

$$ v_c(0 ^ +)= v_c(0 ^-)$$

稳态响应

对于较大的“ t”值，即使在瞬态响应变为零值之后仍保留的时间响应部分称为稳态响应。这意味着在稳态期间，响应中不会有任何瞬态部分。

电感行为

如果长时间将独立电源连接到具有一个或多个电感器和电阻器(可选)的电路或网络，则称该电路或网络处于稳定状态。因此，存储在该电路的电感器中的能量是最大且恒定的。

从数学上讲，它可以表示为

$ W_L = \ frac {L {i_L} ^ 2} {2} = $最大值和常数

$ \ Rightarrow i_L = $最大值和常数

因此，电感器在稳态下充当恒流源。

电感两端的电压为

$$ V_L = L \ frac {di_ {L}} {dt} = 0V $$

因此，电感器在稳态下充当短路。

电容行为

如果长时间将独立电源连接到具有一个或多个电容器和电阻器(可选)的电路或网络，则称该电路或网络处于稳定状态。因此，存储在该电路的电容器中的能量是最大且恒定的。

从数学上讲，它可以表示为

$ W_c = \ frac {C {v_c} ^ 2} {2} = $最大值和常数

$ \ Rightarrow v_c = $最大值和常数

因此，电容器在稳态下充当恒压源。

流过电容器的电流为

$$ i_c = C \ frac {dv_c} {dt} = 0A $$

因此，电容器在稳态下充当开路。

查找串联RL电路的响应

考虑以下串联RL电路图。

在上述电路中，开关保持打开状态直到t = 0，并且在t = 0处于闭合状态。因此，到目前为止，具有V伏的DC电压源尚未连接到串联RL电路。因此，没有初始电流流过电感器。

下图显示了当开关处于闭合位置时的电路图。

现在，由于具有V伏的DC电压源连接到串联RL电路，电流i在整个电路中流动。

现在，在循环周围应用KVL 。

$$ V = Ri + L \ frac {di} {dt} $$

$ \ frac {di} {dt} + \ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup i = \ frac {V} {L} $等式1

上面的方程是一阶微分方程，形式为

$ \ frac {dy} {dt} + Py = Q $公式2

通过比较方程式1和方程式2，我们将得到以下关系式。

$$ x = t $$

$ y = i $$

$$ P = \ frac {R} {L} $$

$$ Q = \ frac {V} {L} $$

公式2的解决方案将是

$ ye ^ {\ int p dx} = \ int Q e ^ {\ int p dx} dx + k $等式3

其中， k是常数。

代入公式3中的x，y，P和Q值。

$ ie ^ {\ int {\ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup} dt} = \ int(\ frac {V} {L})\ lgroup e ^ {\ int {\ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup} dt} \ rgroup dt + k $

$ \ Rightarrow ie ^ {\ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup t} = \ frac {V} {L} \ int e ^ {\ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup t} dt +千元

$ \ Rightarrow ie ^ {\ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup t} = \ frac {V} {L} \ lbrace \ frac {e ^ {\ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup} t} {\ frac {R} {L}} \ rbrace + k $

$ \ Rightarrow i = \ frac {V} {R} + ke ^ {-\ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup} t $等式4

我们知道电路中没有初始电流。因此，用等式4中的t = 0和𝑖 = 0代替常数k的值。

$$ 0 = \ frac {V} {R} + ke ^ {-\ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup(0)} $$

$$ 0 = \ frac {V} {R} + k(1)$$

$$ k =-\ frac {V} {R} $$

用公式4中的k值代替。

$$ i = \ frac {V} {R} + \ lgroup-\ frac {V} {R} \ rgroup e ^ {-\ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup t} $$

$$ i = \ frac {V} {R}-\ frac {V} {R} e ^ {-\ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup t} $$

因此，流经电路的电流为

$ i =-\ frac {V} {R} e ^ {-\ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup t} + \ frac {V} {R} $等式5

因此，当串联RL电路被直流电压源激励时，其响应具有以下两个项。

• 第一项$-\ frac {V} {R} e ^ {-\ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup t} $与瞬态响应相对应。

• 第二项$ \ frac {V} {R} $与稳态响应相对应。下图显示了这两个响应。

我们可以将等式5重新编写如下：

$ i = \ frac {V} {R} \ lgroup 1-e ^ {-\ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup t} \ rgroup $

$ \ Rightarrow i = \ frac {V} {R} \ lgroup 1-e ^ {-\ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} \ rgroup $等式6

其中， τ是时间常数，其值等于$ \ frac {L} {R} $。

公式5和公式6相同。但是，通过代入一些t值(例如0，τ，2τ，5τ等)，我们可以从等式6轻松理解流过电路的上述电流波形。

在流过电路的电流的上述波形中，瞬态响应从零开始将出现多达五个时间常数，而稳态响应将从五个后开始呈现五个时间常数。