通过从矩阵的行首或行尾选择 M 个元素来最大化总和

这个问题可以使用动态规划来解决。

我们可以设 $dp_{i,j,k}$ 表示在前 $i$ 行中选择 $j$ 个元素，最后一个元素是第 $k$ 列的方案能够得到的最大总和。可以发现，$j$ 和 $k$ 都可以通过状态转移得到。

因为我们可以从上一次选择和本次选择中得到新的个数和最后选择的列，根据选择的类型有两种情况：

• 从行首选择，此时需要转移 $dp_{i,j,k}$ 到 $dp_{i,j+1,k}$，同时将第 $k$ 列的值记录下来供下一次选择使用。
• 从行尾选择，此时需要先将之前记录的最后选择的列的值加入到选择集合中，然后转移 $dp_{i,j,k}$ 到 $dp_{i,j+1,k}$。

最终的答案就是 $\max\limits_{k=1}^n dp_{m,M,k}$。

以下是一个 Python 代码实现：

def solve(m, M, matrix):
    n = len(matrix[0])
    dp = [[[-inf] * (n + 1) for _ in range(M + 1)] for _ in range(m + 1)]
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, M + 1):
            for k in range(1, n + 1):
                if j == 1:
                    dp[i][j][k] = max(dp[i - 1][j][k], 0) + matrix[i - 1][k - 1]
                else:
                    dp[i][j][k] = max(dp[i - 1][j][k], dp[i][j - 1][k], dp[i][j - 1][0] + matrix[i - 1][k - 1])
                    dp[i][j][0] = max(dp[i][j][0], dp[i][j - 1][k])

    ans = -inf
    for k in range(1, n + 1):
        ans = max(ans, dp[m][M][k])
    return ans

其中，matrix 是一个 $m\times n$ 的矩阵，M 是需要选择的元素个数。