从无向图中删除的最小标记节点，以便没有循环

在无向图中，循环是指一个节点可以通过其他路径回到自身，这可能导致算法的错误，因此需要删除一些节点以确保没有循环。本文介绍了如何找到需要删除的最小标记节点。

算法概述

该算法基于深度优先搜索（DFS）和拓扑排序的概念。首先，使用DFS查找无向图中的所有环，并记录每个环中的节点。然后，对于每个环，从环中选择一个标记最小的节点，将其标记为待删除节点，并递归删除其邻居中与该节点相连的所有边。最后，按照拓扑排序的顺序删除所有的待删除节点。

算法实现

def minimum_marked_node_to_remove(graph):
    # find all cycles
    cycles = find_cycles(graph)
    # mark smallest node in each cycle for removal
    nodes_to_remove = set()
    for cycle in cycles:
        smallest_node = min(cycle)
        nodes_to_remove.add(smallest_node)
        # recursively remove edges
        for neighbor in graph[smallest_node]:
            graph[neighbor].remove(smallest_node)
            graph[smallest_node].remove(neighbor)
    # topologically sort remaining nodes
    remaining_nodes = list(set(graph.keys()) - nodes_to_remove)
    sorted_nodes = topological_sort(remaining_nodes, graph)
    # remove marked nodes in topological order
    for node in sorted_nodes:
        if node in nodes_to_remove:
            del graph[node]
    return nodes_to_remove

该算法接收一个包含节点和边的字典表示的无向图作为参数。在实现中，find_cycles函数使用DFS算法查找所有的环，topological_sort函数实现传统的拓扑排序算法，返回已排序的节点列表。

该算法返回需要删除的最小标记节点集合。

算法分析

该算法的时间复杂度为$O(V+E)$，其中$V$是节点数，$E$是边数。算法的空间复杂度较高，由于需要记录所有找到的环和每个标记的节点集合，空间复杂度为$O(V+E)$。对于大型无向图，该算法可能会耗费更多的时间和空间。