从无向图中删除最小边以断开节点 A 和 B 之间的路径

在无向图中，如果要断开两个节点之间的路径，需要删除它们之间的边。为了最小化删除的代价，我们需要找到需要删除的最小的一条边。

解题思路

我们可以使用 Kruskal 算法来解决这个问题。Kruskal 算法被用于生成最小生成树。但是当我们删除一条边时，我们将其从图中排除，这将导致生成最小生成树的过程被打破。然而，我们可以改变算法，使其适应我们的需求。

我们首先需要找到图中所有的边并按照权重从小到大进行排序。然后，从最轻的边开始，按顺序检查每条边。对于每条边，我们检查它所链接的两个节点是否已经被包含在同一组中。如果它们是独立的，那么我们将它们合并。如果它们不是独立的，那么这条边就不会被包含，因为它会生成一个环。

我们可以使用一个并查集来维护节点的组信息。每当我们合并两个组时，我们将它们的领导结点设置为同一个类。

最后，我们需要找到连接节点 A 和 B 的最小边，并删除它。这样，A 和 B 之间的路径就断开了。

代码实现

以下是一个 Python 实现示例：

class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        self.parent = list(range(n))

    def find(self, i):
        if self.parent[i] != i:
            self.parent[i] = self.find(self.parent[i])
        return self.parent[i]

    def union(self, i, j):
        self.parent[self.find(i)] = self.find(j)

def min_cut(graph, u, v):
    n = len(graph)
    edges = [(graph[i][j], i, j) for i in range(n) for j in range(i+1, n)]
    edges.sort()

    uf = UnionFind(n)
    for w, i, j in edges:
        if uf.find(u) == uf.find(v):
            return w
        uf.union(i, j)

graph = [
    [0, 2, 4, 0, 0],
    [2, 0, 1, 3, 0],
    [4, 1, 0, 5, 1],
    [0, 3, 5, 0, 2],
    [0, 0, 1, 2, 0]
]

u = 1
v = 3

min_edge = min_cut(graph, u, v)
print(f"The minimum edge to remove between nodes {u} and {v} is {min_edge}")

复杂度分析

该算法的时间复杂度为 O(E log E)，其中 E 是边的数量。由于我们需要对边进行排序，所以排序的时间复杂度为 O(E log E)。接下来，我们需要对每条边进行检查，这也需要 O(E) 的时间。并查集的查询和合并操作都是近似 O(1) 的。

空间复杂度取决于并查集的大小，即 O(V)，其中 V 是节点的数量。