DCT(离散余弦变换)是N输入序列x(n)，0≤n≤N-1，是线性变换或复指数的组合。结果，即使x(n)是实数，DFT系数通常也是复杂的。

假设，我们尝试找出具有N×N结构的正交变换，该变换将真实序列x(n)表示为余弦序列的线性组合。我们已经知道-

$ X(K)= \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x(n)cos \ frac {2 \ Pi kn} {N} 0 \ leq k \ leq N-1 $

并且$ x(n)= \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x(k)cos \ frac {2 \ Pi kn} {N} 0 \ leq k \ leq N-1 $

如果N点序列x(n)是实数和偶数，则这是可能的。因此，$ x(n)＝ x(Nn)，0 \ leq n \ leq(N-1)$。生成的DFT本身是真实的，甚至是偶数。这些事情清楚地表明，我们可以通过对序列的“偶数扩展”取2N点DFT来对任何N点实序列进行离散余弦变换。

DCT基本上用于图像和语音处理。它也用于图像和语音信号的压缩。

$ DFT [s(n)] = S(k)= \ sum_ {n = 0} ^ {2N-1} s(n)W_ {2N} ^ {nk}，\ quad其中\ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ S(k)= \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x(n)W_ {2N} ^ {nk} + \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = N} ^ {2N -1} x(2N-n-1)W_ {2N} ^ {nk}; \ quad其中\ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ \ Rightarrow S(k)= W_ {2N} ^ {-k / 2} + \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x(n)[W_ {2N} ^ {nk} W_ {2N} ^ {k / 2} + W_ {2N} ^ {-nk} W_ {2N} ^ {-k / 2}]; \ quad其中\ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ \ Rightarrow S(k)= W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x(n)\ cos [\ frac {\ pi} { N}(n + \ frac {1} {2})k]; \ quad其中\ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

DCT定义为

$ V(k)= 2 \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x(n)\ cos [\ frac {\ pi} {2}(n + \ frac {1} {2})k] \四元组\\ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $

$ \ Rightarrow V(k)= W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} S(k)\ quad或\ quad S(k)= W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2 }} V(k)，\ quad其中\ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $

$ \ Rightarrow V(k)= 2R [W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x(n)W_ {2N} ^ {nk} ]，\ quad其中\ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $