DFT为时域卷积提供了另一种方法。它可用于在频域中执行线性滤波。

因此， $ Y(\ omega)= X(\ omega).H(\ omega)\ longleftrightarrow y(n)$ 。

这种频域方法的问题在于$ Y(ω)，X(ω)和H(ω)是ω的连续函数，这对于计算机上的数字计算是无济于事的。但是，DFT提供了这些波形的采样版本以解决此问题。

优点是，与时域方法相比，了解快速的DFT技术(如FFT)后，可以为数字计算机计算开发出计算效率更高的算法。

考虑一个有限的持续时间序列，$ [x(n)= 0，\ quad for，n <0 \ quad和\ quad n \ geq L] $(广义方程)，激发具有脉冲响应的线性滤波器$ [h(n )= 0，\ quad forn <0 \ quad和\ quad n \ geq M] $。

$$ x(n)y(n)$$ $$ output = y(n)= \ sum_ {k = 0} ^ {M-1} h(k).x(nk)$$

从卷积分析可以清楚地看出，y(n)的持续时间为L + M-1。

在频域中

$$ Y(\ omega)= X(\ omega).H(\ omega)$$

现在，$ Y(\ omega)$是ω的连续函数，它以一组离散频率进行采样，且离散样本的数量必须等于或超过$ L + M-1 $。

$$ DFT \四分位数= N \ geq L + M-1 $$

使用$ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $，

$ Y(\ omega)= X(k).H(k)$，其中k = 0,1，….，N-1

其中，X(k)和H(k)分别是x(n)和h(n)的N点DFT。 $ x(n)\＆h(n)$用零填充直到长度N。它不会使连续谱$ X(\ omega)$和$ H(\ omega)$失真。由于$ N \ geq L + M-1 $，输出序列y(n)的N点DFT足以在频域中表示y(n)，这些事实推断X(k)的N点DFT的乘积)和H(k)，然后计算N点IDFT必须得出y(n)。

这意味着x(n)和H(n)的N点圆卷积具有零填充，等于x(n)和h(n)的线性卷积。

因此，DFT可用于线性滤波。

注意-N应始终大于或等于$ L + M-1 $。否则，混叠效果会破坏输出序列。