哈勃的观察利用了径向速度与谱线的移动有关的事实。在这里，我们将观察四种情况，并找到衰退速度($ v_r $)与红移(z)之间的关系。

情况1：非相对论的源移动情况

在这种情况下，v远小于c。源正在发射一些信号(声音，光等)，并传播为波前。源帧中两个连续信号发送之间的时间间隔为Δts 。在观察者帧中接收两个连续信号之间的时间间隔为Δto 。

如果观察者和辐射源都静止不动，则Δts=Δto，但这不是这种情况。相反，该关系如下。

$$ \ Delta t_o = \ Delta t_s + \ frac {\ Delta l} {c} $$

现在，$ \ Delta l = v \ Delta t_s $

同样，由于(波速x时间)=波长，我们得到

$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ frac {\ lambda_o} {\ lambda_s} $$

从上面的方程式，我们得到以下关系式：

$$ \ frac {\ lambda_o} {\ lambda_s} = 1 + \ frac {v} {c} $$

其中$ \ lambda _s $是光源处的信号波长，而$ \ lambda _o $是观察者解释的信号波长。

在此，由于源远离观察者，因此v为正。

红移-

$$ z = \ frac {\ lambda_o-\ lambda_s} {\ lambda_s} = \ frac {\ lambda_o} {\ lambda_s}-1 $$

从上面的等式，我们得到如下的红移。

$$ z = \ frac {v} {c} $$

情况2：观察者移动的非相对论情况

在这种情况下，v远小于c。在这里，$ \ Delta l $是不同的。

$$ \ Delta l = v \ Delta t_o $$

简化后，我们得到-

$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ left(1-\ frac {v} {c} \ right)^ {-1} $$

我们得到红移如下-

$$ z = \ frac {v / c} {1-v / c} $$

由于v << c ，情况I和情况II的红移表达式近似相同。

让我们看看在以上两种情况下获得的红移有何不同。

$$ z_ {II}-z_I = \ frac {v} {c} \ left [\ frac {1} {1-v / c} -1 \ right] $$

因此，由于$(v / c)^ 2 $因子，$ z_ {II}-z_ {I} $是非常小的数字。

这意味着，如果v << c，则我们无法确定源是在移动还是观察者在移动。

现在让我们了解STR (相对论)的基础-

• 光速是一个常数。

• 当光源(或观察者)以与光速相当的速度运动时，会观察到相对论效应。

• 时间膨胀：$ \ Delta t_o = \ gamma \ Delta t_s $

• 长度收缩：$ \ Delta l_o = \ Delta t_s / \ gamma $

• 在这里，$ \ gamma $是Lorrentz因子，大于1。

$$ \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1-(v ^ 2 / c ^ 2)}} $$

案例3：相对论案例的源移动

在这种情况下，v可与c媲美。参考与情况I相同的图。由于相对论效应，观察到时间膨胀，因此获得以下关系。 (源正以相对论的速度移动)

$$ \ Delta t_o = \ gamma \ Delta t_s + \ frac {\ Delta l} {c} $$

$$ \ Delta l = \ frac {v \ gamma \ Delta t_s} {c} $$

$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ frac {1 + v / c} {\ sqrt {1-(v ^ 2 / c ^ 2)}} $$

经过进一步简化，我们得到

$$ 1 + z = \ sqrt {\ frac {1 + v / c} {1-v / c}} $$

上面的表达式被称为运动多普勒频移表达式。

案例4：观察者移动的相对论案例

请参考与案例二相同的图。由于相对论效应，观察到时间缩短，因此获得以下关系。 (观察者以相对论的速度前进)

$$ \ Delta t_o = \ frac {\ Delta t_s} {\ gamma} + \ frac {\ Delta l} {c} $$

$$ \ Delta l = \ frac {v \ Delta t_o} {c} $$

$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ frac {\ sqrt {1-(v ^ 2 / c ^ 2)}} {1-v / c} $$

进一步简化，我们得到-

$$ 1 + z = \ sqrt {\ frac {1+ v / c} {1- v / c}} $$

上面的表达式与案例三相同。

要记住的要点

• 衰退速度和恒星的红移是相关的量。

• 在非相对论的情况下，我们无法确定源是移动的还是静止的。

• 在相对论的情况下，源或观测者移动的红移-后退速度关系没有差异。

• 移动时钟的移动速度较慢，这是相对论的直接结果。