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📜  衍生品

📅  最后修改于: 2022-05-13 01:54:13.984000             🧑  作者: Mango

衍生品

我们在现实生活中遇到很多情况，我们会遇到一些我们想知道其变化率的变量。例如，我们看到一辆汽车在路上行驶，我们对它的位置以及它的位置变化率感兴趣。位置变化率也称为速度。在水流过水箱的另一种情况下，我们可能对测量水流出水箱的速率感兴趣。我们的目标是衡量所有这些变量的变化速度。导数有助于测量数量变化的速率。让我们看看如何制定和使用它们，

衍生品的定义

假设我们有一个要观察的函数f(x)。该函数的导数将告诉我们该函数相对于其输入的变化率。函数f(x) 的导数记为 f'(x) 或\frac{d(f(x))}{dx} .导数是使用极限的概念来定义的。

上图表示导数的几何解释。让我们有两个点 P(a, f(a)) 和 Q(a + h, f(a + h)) 在图上彼此靠近。我们知道，根据定义，

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) -f(a)}{h}

从三角形 PQR 可以清楚地看出，我们取其极限的比率正好等于 tan(QPR)，它是弦 PQ 的斜率。在极限过程中，当 h 趋于 0 时，点 Q 趋于 P，我们有，

\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) -f(a)}{h} = lim_{Q \to P}\frac{QP}{QR}

我们可以看到弦 PQ 趋向于与曲线 f(x) 相切。该限制等于曲线在特定点处的切线斜率。

示例：求 f(x) = 3x 在 x = 2 处的导数。

解决方案：

导数代数

由于导数涉及极限，因此预计它们应该遵循极限的性质。假设我们有两个函数“f”和“g”。让我们看看它们的导数的性质。

  • 两个函数之和的导数等于两个函数的导数之和。

\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx}f(x) + \frac{d}{dx}g(x)

  • 两个函数之差的导数就是这两个函数的导数之差。

\frac{d}{dx}[f(x) - g(x)] = \frac{d}{dx}f(x) - \frac{d}{dx}g(x)

  • 两个函数乘积的导数由导数的乘积规则给出。

\frac{d}{dx}[f(x).g(x)] = g(x)\frac{d}{dx}f(x) + f(x)\frac{d}{dx}g(x)

  • 两个函数的除法的导数给出了导数的商规则。

\frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{g(x)\frac{d}{dx}f(x) - f(x)\frac{d}{dx}g(x)}{g(x)^2}

使用导数求切线方程

假设我们有一个函数y = f(x)。我们需要找到这条曲线在 x = a 处的切线方程。我们已经知道，特定点的导数为我们提供了切线的斜率。所以，我们有点 (a, f(a)) 和切线的斜率。我们可以形成如下给出的直线方程，

假设函数在 x = a 处的导数，  \frac{dy}{dx} = f'(x) .我们知道直线方程是

y = mx + b,

其中 m =  \frac{dy}{dx} = f'(x) ,

y =  \frac{dy}{dx} x + b

现在用点 (a,f(a)) 代替上式中的 (x,y)。

f(a) =  \frac{dy}{dx} a+ b

⇒ b = f(a) – \frac{dy}{dx}一种

因此，线的方程变为，

y =  \frac{dy}{dx} x + f(a) –  \frac{dy}{dx}一种

让我们看一些关于这些概念的示例问题。

示例问题

问题 1：求函数f(x) = x 2在 x = 0 处的导数。

解决方案：

问题 2：求函数f(x) = x 2在 x = 2 处的导数。

解决方案：

问题 3：求函数f(x) = x 2 + x +1 在 x = 0 处的导数。

解决方案：

问题 4：求函数f(x) = e x在 x = 0 处的导数。

解决方案：

问题 5：求给定函数f(x) = x 2 + 1 在点 x = 0 处的切线方程。

解决方案：

问题 6：求 f(x) = x 2 + e x的导数。

回答：