第 11 类 RD Sharma 解决方案 - 第 30 章衍生品 - 练习 30.4 |设置 3

简介

本篇解决方案将为您解决RD Sharma数学教材第11类第30章衍生品练习30.4的第三个设置。

RD Sharma是印度最受欢迎的教材系列之一，广泛用于印度学生的初高中教育。作为数学教育领域中的一份完整解决方案，其适用范围也逐渐扩展到了其他国家。

题目描述

在第三个设置中，我们需要根据已知的两个函数$f(x)$和$g(x)$的定义，求出$f(x)g'(x)-g(x)f'(x)$的导数。

已知函数定义如下：

$f(x)=\frac{x^2}{x-1},g(x)=\log_e x$

解题思路

首先，我们需要了解一个知识点：对于两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的导数的乘积为：

$f(x)g'(x)-g(x)f'(x)$

接下来，我们根据$f(x)$和$g(x)$的定义来求它们的导数。

对于$f(x)$，我们可以使用除法法则求导：

$f'(x)=\frac{(x-1)\cdot2x-x^2\cdot1}{(x-1)^2}=\frac{x^2+2x}{(x-1)^2}$

对于$g(x)$，我们可以使用对数函数的导数：

$g'(x)=\frac{1}{x\ln(\mathrm{e})}=\frac{1}{x}$

将以上结果带入求导公式，我们得到：

$f(x)g'(x)-g(x)f'(x)=\frac{x^2}{x-1}\cdot\frac{1}{x}-\log_e x\cdot\frac{x^2+2x}{(x-1)^2}$

化简上式后，我们可以得到：

$f(x)g'(x)-g(x)f'(x)=\frac{x}{(x-1)^2}\cdot(2\log_e x-x)$

因此，我们成功地求得了$f(x)g'(x)-g(x)f'(x)$的导数。

代码实现

已知函数：
f(x)=x^2/(x-1),g(x)=log_e x

求 f(x)g'(x)-g(x)f'(x) 的导数。

解题思路：
根据导数乘积公式，求导。

根据题意，我们可以得到：
f'(x)=x^2+2x/(x-1)^2
g'(x)=1/x

得到 f(x)g'(x)-g(x)f'(x) =\frac{x}{(x-1)^2}\cdot(2\log_e x-x)

因此，问题得到解决。