来自两个给定数组的所有可能成对和的异或

本题意为：给定两个长度相同的数组A和B，求A[i]和B[j]的所有可能成对和的异或结果。即，对于A数组中的每个元素，与B数组中的每个元素分别求异或，最终返回所有异或结果的集合。

解法

一个朴素的解法是双重循环，枚举A数组和B数组中的所有成对元素进行异或。时间复杂度为O(n^2)。

def xor_pairs_brute_force(A, B):
    results = set()
    n = len(A)
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            results.add(A[i] ^ B[j])
    return results

这种解法的效率显然不能令人满意。我们可以考虑如何优化。

首先我们需要注意到一个性质：异或运算满足交换律和结合律，即A^B^C = A^(B^C) = (A^B)^C。因此我们可以将A数组和B数组分别排序，然后依次取出最小的两个数进行异或。如果A[i]小于B[j]，则A[i]只可能与B[j]及其后面的元素配对，因为如果与B[j]之前的元素配对，则B[j]之后的所有元素都会多次配对。反之亦然。

下面是这种做法的代码实现（时间复杂度 O(nlogn)）：

def xor_pairs(A, B):
    A.sort()
    B.sort()
    results = set()
    n = len(A)
    i = j = 0
    while i < n and j < n:
        if A[i] < B[j]:
            for k in range(j, n):
                results.add(A[i] ^ B[k])
            i += 1
        else:
            for k in range(i, n):
                results.add(A[k] ^ B[j])
            j += 1
    return results

总结

通过排序和双指针的做法，我们将时间复杂度降到了O(nlogn)，比朴素做法提高了一个数量级。当然，这只是一种优化方法，问题本身还有很多值得探究的地方，比如可以考虑使用哈希表等数据结构优化算法。