向量的标量积

两个向量或一个向量和一个标量可以相乘。物理学中向量的乘积主要有两种，向量的标量乘法和两个向量的向量积（Cross Product）。两个向量的标量积的结果是一个数字（标量）。标量积的常见用途是定义功和能量的关系，例如在引起物体位移的同时通过力（矢量）对物体所做的功，该功可以定义为力矢量的标量积与位移矢量。

标量和向量量定义为：

• 标量：这些量只能用大小（或数值）来完全描述。例如。物体的长度、物体的重量、物体的速度等。
• 向量：这些量可以用大小和方向来完全描述。例如物体的速度，因为它既有大小又有方向。

标量积

两个向量的标量积或点积是一种代数运算，它采用两个等长的数字序列并返回一个数字作为结果。在几何术语中，可以通过将一个向量在另一个向量的方向上的分量乘以另一个向量的大小来找到标量积。

The scalar product of two vectors A and B is defined by,

A.B = |A| × |B| cos ∅ 

where 

• |A| is magnitude of vector A,
• |B| is magnitude of vector B and
• ∅  is the angle between vector A and B.

由于标度积用点 (.) 表示，因此也称为点积。

• 单位向量表示形式的标量积

在向量的单位向量表示中，其中 i、j、k 分别沿 x 轴、y 轴和 z 轴。标量积可以计算为：

AB = A _x × B _x + A _y × B _y + A _z × B _z

在哪里，

A = A _x i +A _y j +A _z k

B = B _x i +B _y j + B _z k

• 向量标量积的几何解释

两个非零向量的乘积可以可视化为将任何一个向量的大小乘以另一个向量在其上的投影的大小。

情况 1：当两个向量之间的角度大于 0 度且小于 90 度时，标量积的结果为正。

0 < ∅ < 90

情况 2：当两个向量之间的夹角大于 90 度且小于 180 度时，标量积的结果为负。

90 < ∅ < 180

情况 3：当两个向量之间的角度为 90 度时，缩放器积的结果为0 。

∅ = 90

Special Cases of Scalar Product

(1) Scalar product of Two parallel Vectors: Scalar product of two parallel vectors is simply the product of magnitudes of two vectors. As the angle between vectors when they are parallel is 0 degree, and cos 0= 1. 

Therefore, 

a.b = |a| × |b| cos 0  

      = |a| × |b|

(2) Scalar Product of Two Antiparallel Vectors: Scalar product of two antiparallel vectors is negative of the product of magnitudes of two vectors.

a.b cos 180 = −|a| × |b|                         (Since, cos 180 = -1)

(3) Scalar product of Two Orthogonal Vectors: Scalar product of two orthogonal vectors is 0.

a.b cos 90 = 0                                          (Since, cos  90 = 0)

向量标量积的矩阵表示

在矩阵形式中，向量可以表示为行矩阵或列矩阵。如果我们将向量视为它们的 x、y 和 z 分量的行矩阵，那么这些向量的转置将是包含 x、y 和 z 分量的列矩阵。

因此，向量 A 和 B 可以看作如下：

一个=

Ax

Ay

Az

乙 =

Bx

By

Bz

所以，  

AB = A _x B _x +A _y B _y + A _z B _z

向量标量乘法的性质

1. 标量乘法的交换性质：

如果a和b是两个向量，则：

ab =巴

作为，

ab = |a||b| cos θ 和

巴= |b||a|系数θ

所以ab = ba

2. 向量加法的分布：

    如果a, b ,c是向量，那么，

a.(b+c) = ab + ac

3.关联属性：

如果a是 a 向量并且 c, d 是缩放器，那么，

c (d a ) = (cd) a

4.身份属性：

    如果a是一个向量，那么，

1· a = a

5. 0的乘法性质：

   如果a是一个向量，那么，

    0（一）=0

示例问题

问题 1：求向量 A= 2i + 5j +3k 和向量 B= 3i + j +2k 的标量积。

解决方案：

A. B = (2 * 3) + (5 * 1) +(3 * 2)

        = 6 + 5 + 6

        = 17 

问题 2：由于 (7i + 5j +2k) N 的均匀力，粒子覆盖从位置 2i + j + 2k 到 3i + 2j +5k 的位移。如果位移以斜角计算，则计算完成的功。

解决方案：

Given,

Final position P2 = 3i + 2j +5k

Initial position P1 = 2i +j +2k

Force F = ( 7 i + 5 j + 2 k ) N

So  

The displacement D  = P2 – P1

D = ( 3 – 2 ) i + ( 2 -1 ) j + ( 5 – 2 ) k

   = i + j + 3k

Work done = F . D

= ( 7 i + 5 j + 2 k ) . ( i + j  +  3k )

= ( 7*1 ) + ( 5*1 ) + ( 2*3 )

= 7 + 5 + 6

= 18  J

问题 3：求 m 的值，使得向量 A = 2 i + 3j + k 和 B = 3 i + 2 j + mk 可能是垂直的。

解决方案：

Given,

A and B are perpendicular

so A . B = 0 

( 2 i + 3j + k ) . (  3i + 2j + mk ) = 0

( 2 * 3 ) + ( 3 * 2 ) + ( 1 * m ) = 0

6 + 6 + m = 0

12 + m = 0

m = -12 

问题 4：证明向量 U = 2i + 3j + k 和 V = 4i – 2j + 2k 相互垂直。

解决方案：

Given,

U = 2i + 3j + k

V = 4i – 2j + 2k 

to prove U and V are perpendicular to each other

U . V = ( 2i + 3j + k ) . ( 4i – 2j – 2k )

         = ( 2 * 4 ) + ( 3 * -2 ) + ( 1 * -2 )

         = 8 – 6 – 2

         = 0

we know that if scalar product of two vectors is 0 then they are perpendicular to each other.

U . V = 0 so, U and V are perpendicular to each other

Hence proved  

问题 5：证明向量 A = 4ax -2ay - az 和 B = ax + 4ay -az 相互垂直。

解决方案：

|A|=√(4)^2 +(-2)^2 + (-1)^2 =√21

|B| = √(1)^2+(4)^2+(-1)^2 = √18

A . B = (4ax -2ay – az) . (ax + 4ay  -az)

        = 4 -8 + 4 

        =0

|A| |B| cos ∅ = 0

cos ∅ = 0

so ∅ = 90 °

Hence proved.