凸包|单调链算法

凸包是计算几何中的一个重要问题，它求得是一个点集最小凸多边形的顶点集合。而单调链算法则是求解凸包的一种重要算法。

原理

凸包可以使用暴力枚举和 Graham-Scan 等算法实现，但是单调链算法是比较高效的一种方法。它的原理如下：

1. 首先对点集按照 x 坐标进行排序；

2. 分别求出从左到右和从右到左的两个单调链；

3. 将这两个单调链合并成一个。

对于单调链的求解，分别有两个单调栈：

1. 左单调栈：从左到右不断向栈中添加点，保证栈中点纵坐标单调递增；

2. 右单调栈：从右到左不断向栈中添加点，保证栈中点纵坐标单调递减。

实现

下面是单调链算法的具体实现：

def monotonic_chain(points):
    # 对点按照 x 坐标排序
    points.sort()

    # 从左到右的单调栈
    left_stk = []
    for pt in points:
        while len(left_stk) >= 2 and (left_stk[-1] - left_stk[-2]).cross(pt - left_stk[-2]) < 0:
            left_stk.pop()
        left_stk.append(pt)

    # 从右到左的单调栈
    right_stk = []
    for pt in reversed(points):
        while len(right_stk) >= 2 and (right_stk[-1] - right_stk[-2]).cross(pt - right_stk[-2]) < 0:
            right_stk.pop()
        right_stk.append(pt)

    # 合并两个单调链
    return left_stk[:-1] + right_stk[:-1]

其中 cross 函数即向量叉积，定义如下：

class Vec2:
    # vector2 class
    ...
    
    def cross(self, other):
        return self.x * other.y - self.y * other.x

使用

使用单调链算法求解凸包可以得到一个点集的最小凸包顶点集合。

下面是一个例子：

points = [Vec2(0, 3), Vec2(2, 2), Vec2(1, 1), Vec2(2, 1),
          Vec2(3, 0), Vec2(0, 0), Vec2(3, 3)]
hull_pts = monotonic_chain(points)

hull_pts 将得到点集的最小凸包顶点集合。

结论

在计算几何中，凸包问题很重要，而单调链算法是其中的一种高效算法。实际上，在计算几何中还有其他的算法，例如 Graham-Scan、QuickHull、Chan 等，不仅效率高，而且更加通用，可以处理各种凸包问题。