凸包的Quickhull算法

凸包是一个包含所有点的最小凸多边形，求解凸包的问题被广泛地应用于计算几何、图形学、计算机视觉等领域。

Quickhull算法是一种高效的求解凸包的方法，其时间复杂度为O(nlogn)。

算法思路

Quickhull算法首先选择所有点中最左侧和最右侧的两个点作为凸包的两个端点，然后找到其余点中距离这条直线最远的点，将这个点与直线相连，得到一个三角形。然后，将这个三角形内部的所有点递归地应用同样的过程，直到所有点都被添加到凸包中。

具体来说，Quickhull算法的过程如下：

1. 找到x坐标最小和最大的两个点p1和p2，将它们加入凸包中。
2. 针对每个点pi，如果它在p1和p2组成的直线的上方，则它很可能离凸包更远，需要进一步处理。
3. 对于每个pi，计算它到p1和p2组成直线的距离，找到距离最远的点p3。p3必定在凸包上。
4. 将p3添加到凸包中，并将初始的直线分为p1-p3和p3-p2两条线段。
5. 对于分离后的两条线段，重复步骤2到4，直到所有的点都被添加到凸包中。

实现方法

以下是Quickhull算法的Python实现：

def quickhull(points):
    def divide(points, p1, p2):
        if not points:
            return []

        # 找到距离最远的点p3
        distance = [((p[0] - p1[0]) * (p2[1] - p1[1]) - (p[1] - p1[1]) * (p2[0] - p1[0])) ** 2 for p in points] 
        p3_index = distance.index(max(distance))
        p3 = points[p3_index]
        
        # 将p3添加到凸包中
        hull = [p for p in points if ((p2[0] - p1[0]) * (p[1] - p2[1]) - (p2[1] - p1[1]) * (p[0] - p2[0])) <= 0]
        hull.append(p3)
        
        # 递归划分凸包
        hull += divide([p for p in points if p not in hull], p1, p3)
        hull += divide([p for p in points if p not in hull], p3, p2)
        
        return hull
    
    # 找到x坐标最小和最大的两个点p1和p2，将它们添加到凸包中
    p_min = min(points, key=lambda x: x[0])
    p_max = max(points, key=lambda x: x[0])
    hull = [p_min, p_max]
    
    # 递归划分凸包
    hull += divide([p for p in points if p not in hull], p_min, p_max)
    hull += divide([p for p in points if p not in hull], p_max, p_min)
    
    return hull

首先，在quickhull函数中，会先找到所有点中x坐标最小和最大的两个点p1和p2，并将它们添加到凸包中。

然后，调用divide函数来递归地划分凸包。在divide函数中，针对每个点pi，计算它到p1和p2组成直线的距离，找到距离最远的点p3，将它添加到凸包中。然后，将初始的直线分为p1-p3和p3-p2两条线段，以p3为分界点，将剩余点分别分配到p1-p3和p3-p2两个集合中，并分别在这两个集合上递归地调用divide函数，直到所有点都被添加到凸包中。

最后，返回凸包的点集。

总结

Quickhull算法是一种高效的求解凸包的方法，通过递归地分割凸包的边界，得到一个包含所有点的最小凸多边形。该算法的时间复杂度为O(nlogn)，适用于处理大规模的凸包问题。