计算单调的n位数字

在计算机科学中，单调数是指各位数字从左到右排列是单调递增或单调递减的整数。在本文中，我们将探讨如何计算单调的n位数字。

问题描述

给定一个正整数n，计算有多少个n位数字是单调递增或单调递减的。

例如，当n=2时，单调数字为[11, 12, 13, ..., 99]和[10, 20, 30, ..., 98, 99]，共有99个。

解决方案

暴力解法

我们可以遍历所有的n位数字，并且判断它是否是单调递增或单调递减的。对于每个n位数字，需要n次比较。因此，暴力解法的时间复杂度为O(10^n*n)。

def is_increasing(num):
    return all(num[i] <= num[i+1] for i in range(len(num)-1))

def is_decreasing(num):
    return all(num[i] >= num[i+1] for i in range(len(num)-1))

def count_mono_numbers(n):
    count = 0
    for num in range(10**(n-1), 10**n):
        digits = [int(d) for d in str(num)]
        if is_increasing(digits) or is_decreasing(digits):
            count += 1
    return count

动态规划

我们可以使用动态规划的思想，计算n位单调数字的数量。对于第i位数字，我们可以使用一个长度为10的数组（count）来记录前面i-1位数字的所有可能性，并根据第i个数字更新count数组。

def count_mono_numbers(n):
    inc_count = [1]*10
    dec_count = [1]*10
    for i in range(2, n+1):
        new_inc_count = [sum(inc_count[j:]) for j in range(10)]
        new_dec_count = [sum(dec_count[:j+1]) for j in range(10)]
        inc_count, dec_count = new_inc_count, new_dec_count
    return sum(inc_count + dec_count) - 10*n

时间复杂度为O(n)。

总结

本文介绍了计算单调的n位数字的两种解决方案：暴力解法和动态规划。相较于暴力解法，动态规划的时间复杂度更低。