如何求解代数长除法？

这种由系数和变量组成的代数表达式称为多项式。多项式的一般形式如下：

a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₂x² + a₁x + a₀

根据存在的项数，多项式可分为单项式、二项式和三项式。例如，x、13y、39 等项都是单项式，而 x ² + x、x ¹⁰ – x ⁴等项被称为二项式，因为它们由两个项组成。类似地，只有三个项的多项式称为三项式。

多项式的长除法

长除法是将多项式除以二项式或任何其他形式的多项式的最常见和最通用的方法。如果给定的分子和分母没有任何公因数，可以使用长除法简化表达式。长除法的一个例子如下所示，接下来是步骤：

假设我们被要求用长除法将多项式 x ² + 2x + 3 除以 x – 2。它在下面执行：

$\begin{array}{r} x+4\phantom{)} \\ x-2{\overline{\smash{\big)}\,x^2+2x+3\phantom{)}}}\\ \underline{-~\phantom{(}(x^2-2x)\phantom{-b)}}\\ 0+4x+3\phantom{)}\\ \underline{-~\phantom{()}(4x-8)}\\ 0+11\phantom{)} \end{array}$

商和余数分别为 x + 4 和 11。

解决步骤

步骤 1：按幂的降序排列给定多项式的各项。在给定的问题中，不需要排列多项式。使用零作为缺失项的系数。

第 2 步：将被除数的第一项 (x ² ) 除以除数的第一项，并将其用作商的第一项。

第 3 步：将本例中的除数 (x – 2) 乘以答案 (x)，然后将乘积放在被除数 (x ² + 2x + 3) 的下方。

第 4 步：从红利中减去乘积，并在下方画一条线写下答案。

步骤5：使用减法后得到的新多项式重复操作，即将该多项式除以除数，并将其写为商的第二项。

不断重复上述步骤，直到无法进行进一步的划分。记下商和余数。

示例问题

问题 1. 解决$\frac{6x^4+9x^2+3x+6}{x^2-2}$使用长除法。

解决方案：

Dividend = 6x⁴ + 0x³ + 9x² + 3x + 6

Divisor = x² – 2

Using long division method, we have:

$\begin{array}{r} 6x^2+3\phantom{)}\\x^2-2{\overline{\smash{\big)}\,6x^4+0x^3-9x^2+3x+6\phantom{)}}}\\ \underline{6x^4~\phantom{}+0x^3-12x^2~~~~~~~\phantom{-b)}}\\ 3x^2+3x+6\phantom{)}\\ \underline{~\phantom{()}3x^2+0x-6~~}\\ 3x~~~~~~~\phantom{)}\\ \end{array}$

Thus, the quotient and remainder are 6x² + 3 and 3 respectively.

问题 2. 6x ³ + 12x ² + 2x + 25 能完全被 x ² + 4x + 3 整除吗？

解决方案：

Dividend = 6x³ + 12x² + 2x + 25

Divisor = x² + 4x + 3

Using long division method, we have:

$\begin{array}{r}6x-12\phantom{)}\\x^2+4x+3{\overline{\smash{\big)}\,6x^3+12x^2+2x+25\phantom{)}}}\\ \underline{6x^3~\phantom{}+24x^2+18~~\phantom{-b)}}\\-12x^2-16x+25\phantom{)}\\ \underline{~\phantom{()}-12x^2-48x-36~}\\ 32x+61\phantom{)}\\ \end{array}$

Since the remainder is non- zero, the divisor (x² + 4x + 3) is not a factor of the dividend (6x³ + 12x² + 2x + 25).

问题 3. 6x ² – 4x – 24 能完全被 x – 3 整除吗？

解决方案：

Dividend = 6x² – 4x – 24

Divisor = x – 3

Using long division method, we have:

$\begin{array}{r}6x+14\phantom{)}\\x-3{\overline{\smash{\big)}\,6x^2-4x-24\phantom{)}}}\\ \underline{6x^2~\phantom{}-18~~\phantom{-b)}}\\14x-24\phantom{)}\\ \underline{~\phantom{()}14x-42~}\\ 18\phantom{)}\\ \end{array}$

Since the remainder is non- zero, the dividend is not completely divisible by the divisor.

问题 4.使用长除法求 x ³ – x ² + x – 1 和 2x + 1的商和余数。

解决方案：

Dividend = x³ – x² + x – 1

Divisor = 2x + 1

Using long division method, we have:

$\begin{array}{r} \frac{1}{2}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{7}{8}\phantom{)}\\2x+1{\overline{\smash{\big)}\,x^3-x^2+x-1\phantom{)}}}\\\underline{x^3~\phantom{}-\frac{1}{2}x^2~~~~\phantom{-b)}}\\ -\frac{3}{2}x^2+x-1\phantom{)}\\ \underline{~\phantom{()}-\frac{3}{2}x^2-\frac{3}{4}x~~~~~~}\\\frac{7}{4}x-1\phantom{)}\\ \underline{~\phantom{()}\frac{7}{4}x+\frac{7}{8}~}\\ \frac{-15}{8}\phantom{)}\\ \end{array}$

Thus, the quotient and remainder are $\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{7}{8}$ and $\frac{-15}{8}$ respectively.

问题 5.使用长除法求解 (18x ⁴ +9x ³ +3x ² )÷(3x ² +1) 。

解决方案：

Dividend = 18x⁴ + 9x³ + 3x² + 0x + 0

Divisor = 3x² + 1

Using long division method, we have:

$\begin{array}{r} 6x^2+3x-1\phantom{)} \\ 3x^2+1{\overline{\smash{\big)}\,18x^4+9x^3+3x^2+0x+0\phantom{)}}}\\ \underline{18x^4~\phantom{}+0x^3+6x^2~~~~~~~~~\phantom{-b)}}\\ 9x^3-3x^2+0x+0\phantom{)}\\ \underline{~\phantom{()}9x^3+0x^2+3x~~~~~~~~~}\\ -3x^2-3x+0\phantom{)}\\ \underline{~\phantom{()}-3x^2+0x-1}\\ -3x+1\phantom{)}\\ \end{array}$

Thus, the quotient and remainder are 6x² + 3x – 1 and -3x + 1 respectively.

问题 6. 解决$\frac{4x^3+5x^2+5x+8}{4x+1}$使用长除法。

解决方案：

Dividend = 4x³ + 5x² + 5x + 8

Divisor = 4x + 1

Using long division method, we have:

$\begin{array}{r} x^2+x+1\phantom{)} \\ 4x+1{\overline{\smash{\big)}\,4x^3+5x^2+5x+8\phantom{)}}}\\ \underline{4x^3~\phantom{}+x^2~~~~~~~~~~~\phantom{-b)}}\\ 4x^2+5x~~~~~~~\phantom{)}\\ \underline{~\phantom{()}4x^2+1x~~~~~~~~~}\\ 4x+8\phantom{)}\\ \underline{-~\phantom{()}(4x+1)}\\ 7\phantom{)}\\ \end{array}$

Thus, the quotient and remainder are x² + x + 1 and 7 respectively.